「桃鉄ハワイで、ゴールするまで何回さいころを振るかの期待値」 - NazoLab なぞらぼ科学系ソーシャルコミュニティ

桃鉄ハワイで、ゴールするまで何回さいころを振るかの期待値

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citacita

(0pt)

桃鉄は、すごろくゲームと考えて下さい。
（桃鉄のハワイのように行き止まりがゴールの場合についての問題です。）

すごろくと異なるのは、ゴール（上がり）をユーターンして駒を動かすことができないことです。

すごろくの升目を、ゴール（上がり）はＧ、それに近い順にＡ１、Ａ２、Ａ３、Ａ４、Ａ５、Ａ６、……とします。

今Ａ３に駒があり、さいころを振ったら５が出たとき、
通常のすごろくならば、Ａ３→Ａ２→Ａ１→Ｇ→Ａ１→Ａ２　と進むことができます
しかし桃鉄の場合は、ユーターンができないので、Ａ３→Ａ４→Ａ５→Ａ６→Ａ７→Ａ８としか進めません

このとき一般的にＡiに駒があるときに、最善手でこまを進めてときに、ゴールするまでさいころを振る回数の期待値はどのように求めればいいのでしょうか？

※通常のすごろくのルールならば、Ａ１、Ａ２、Ａ３、Ａ４、Ａ５、Ａ６に駒がある時点ならば、無限逃避級数を用いて、簡単に６回であることも求められています。

※Ａ４に駒があり、１の目が出たとき、Ａ３とＡ５のどちらに移動するのが最善手なのかも分かってはいません。（感覚的には、Ａ３なのですが）

※進める数が1または２である場合（例えばコインを投げて表2マス、裏1マス）の場合は、下記の連立方程式で求めました。（正しいかどうかわかりませんが）
この場合、Ａ２に駒がありさいころの目が１のとき、明らかにＡ３よりもＡ１に進めるほうが最善手であることがいえるから立てれた式です。

　　　Ａ１の期待値ｘ　Ａ２の期待値ｙ　Ａ３の期待値ｚ　として
　　　ｘ＝１／２＋（ｚ＋１）／２　　　ｙ＝１／２＋（ｘ＋１）／２　　ｚ＝（ｘ＋１）／２＋（ｙ＋１）／２

※実際の桃鉄は、もちろん様々な要素（升目の色や季節等）を考えて進めますが、もちろんこの問題では、それらを無視してください。

2010-07-28 23:13:58

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oshinobi

(36pt)

考え方としては、出題者さんが最後にあげたように、連立方程式を作ればよいです。
ただしこの問題の場合は、駒の進み方や最善手を選ぶ条件が複雑なので、方程式も難しくはなります。

というわけで、自分で方程式を作って考えてみました。

Aiに駒があるときに、ゴールするまでさいころを振る回数の期待値を $x_{i}$ とします。
（ここでは、 $x_{1}$ ～ $x_{11}$ まで求めることにします）

駒の進め方は、次のように進めるのが最善だと考えています：
■できる限り、A1～A6の範囲に止まる。（ゴールできるときは、当然ゴールする）
さもなければ、必ずゴールに近づく。
■A2で１の目が出たら、A1に行く（ $x_{1} \le x_{3}$ と思われる）。
■A3で１の目が出たら、A2に行く（ $x_{2} \le x_{4}$ と思われる）。
■A3で２の目が出たら、A1に行く（ $x_{1} \le x_{5}$ と思われる）。
■A4で１の目が出たときは、ランダムに、確率 $\alpha$ でA3に、確率 $(1-\alpha)$ でA5に行く
   （あとで、もっとも有利な $\alpha$ を決める）。
■A4で２の目が出たら、A6に行く（ $x_{2} \ge x_{6}$ と思われる）。
■A5で１の目が出たら、A6に行く（ $x_{4} \ge x_{6}$ と思われる）。

これにしたがって、方程式を立てていきます。
まず、A1に駒があるときについて考えると、
   $x_{1} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6}(x_3+1) + \frac{1}{6}(x_4+1) + \frac{1}{6}(x_5+1) + \frac{1}{6} (x_6+1) + \frac{1}{6}(x_7+1)$
   $-x_{1} + \frac{1}{6}x_3 + \frac{1}{6}x_4 + \frac{1}{6}x_5 + \frac{1}{6}x_6 + \frac{1}{6}x_7 = -1$

同様に A2～A11 まで方程式を立てた結果が、これです：
$\left( \begin{array}{cccccccccccc} -1 & 0 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1/6 & -1 & 0 & 0 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 0 & 0 & 0 \\ 1/6 & 1/6 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 0 & 0 \\ 1/6 & 0 & \alpha/6 & -1 & (1-\alpha)/6 & 1/6 & 0 & 0 & 1/6 & 1/6 & 0 \\ 1/6 & 1/6 & 1/6 & 0 & -1 & 1/6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1/6 \\ 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & -1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccccccccccc} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \\ x_{6} \\ x_{7} \\ x_{8} \\ x_{9} \\ x_{10} \\ x_{11} \end {array} \right) = \left( \begin{array}{cccccccccccc} -1 \\ -1 \\ -1 \\ -1 \\ -1 \\ -1 \\ -1 \\ -1 \\ -1 \\ -1 \\ -1 \end{array} \right)$

・・・さすがに手計算は厳しいです。
CASの力を借りて、次のように解を得ました：

$x_{1} = \frac{18036900-111402\alpha}{2342872-25123\alpha} ,\ x_{2} = \frac{2614248-18252\alpha}{334696-3589\alpha} ,\ x_{3} = \frac{18947208-130962\alpha}{2342872-25123\alpha}$

$x_{4} = \frac{18599532-14964\alpha}{2342872-25123\alpha} ,\ x_{5} = \frac{18265296-130962\alpha} {2342872-25123\alpha} ,\ x_{6} = \frac{2528712-15876\alpha}{334696-3589\alpha}$

$x_{7} = \frac{2950164-18522\alpha}{334696-3589\alpha} ,\ x_{8} = \frac{21086856-132696\alpha}{2342872- 25123\alpha} ,\ x_{9} = \frac{3078768-19074\alpha}{334696-3589\alpha}$

$x_{10} = \frac{21985404-133944\alpha}{2342872-25123\alpha} ,\ x_{11} = \frac{22549716-153774\alpha} {2342872-25123\alpha}$

ここで、各 $x_{i}$ が小さくなるように $\alpha$ を決めると、 $\alpha = 0$ になります。
※つまり、「A4で１の目が出たら、A5に行く」方が有利ということです。

$\alpha = 0$ として、期待値の概数を計算したら、次のような値になりました：

$x_{1} = 7.699 ,\ x_{2} = 7.811 ,\ x_{3} = 8.087$
$x_{4} = 7.939 ,\ x_{5} = 7.796 ,\ x_{6} = 7.555$
$x_{7} = 8.814 ,\ x_{8} = 9.000 ,\ x_{9} = 9.199$
$x_{10} = 9.384 ,\ x_{11} = 9.625$

＃正直、解くのに疲れた。。。
＃間違っていないといいな。

8拍手 |

2010-09-05 00:27:59

citacita

(0pt)

oshinobiさん
はじめまして。こんにちは。
そして、この問題を考えていただきありがとうございます。

そして、多くの皆さんに閲覧いただき、とても感謝しています。
ありがとうございます。
これだけ多くの方に見ていただくと、不思議に嬉しい気持ちになります。

各マスの期待値を未知数とした連立方程式による解放は私も気がついていましたが、
oshinobiが指摘していますように、二つの方向へ重さをつけて、その後期待値が最小になる場合を考えるという
アイデアは、とても美しいと思います。

具体的な値も算出していただき、ありがとうございます。
通常のすごろくの場合は、期待値が６になることから、このルールによる期待値は７～８ぐらいかなと
予想はしていましたが、 $x_{1}$ ～ $x_{6}$ の各値の差がどれほどなのかは、想像しきれていませんでしたので、
oshinobiの解答を興味深く見させてただきました。

解答をみている中で、（また、私は私なりにこの問題を考えていく中で）新たな疑問も沸いてきています。
もし、解答または解答を導くヒントが分かる人がいましたら、ご教授下さい。

◎一般的に１～ｎまでのルーレットを用いる場合は、どのようになりますか？

「どのようになりますか？」とは漠然としていますね。
１～ｎまでのルーレットを用いる場合は、 $x_{1}$ ～ $x_{n}$ の最大値はどれになりますか？また、２ばんめに大きな値は
どれになりますか。
$x_{1}$ ～ $x_{n}$ を並べると（または、小さい順等の何かのｌ規則を持ってこれらの値を並べると）数列ができますが、
これらの値を一般化することができますか。

ヒントでもかまいません。
また、これに類似した問題が解説してある本等を知っている人がいましたら教えて下さい。

2010-09-14 23:31:54

oshinobi

(36pt)

citacitaさん、こんにちは。はじめまして。
回答を見ていただきまして、ありがとうございます。
私の回答が間違っていないか不安が残っていたのですが、少し自信が増しました。

さて、「１～ｎまでのルーレットを用いる場合」ですが、さらに難しそうですね。
私も考えてみたいので、少し時間をください。

本題の値から推測すると、感覚的には x_n

が最小で、 $x_{n/2}$ （

が偶数の場合）が最大になりそうに思えますが、まだわかりません。
今考えているアイデアとしては、
『Aiから駒を動かすときに、A1～Anの間から外に飛び出してしまう確率が高いほど、 x_i

が大きくなる』
ということがきちんと示せればなぁ、と思っているところです。

3拍手 |

2010-09-15 13:28:58

yo1928

(20pt)

とてもおもしろい問題で、楽しんでいます。
これが最善手だろう、という読みを
どこまで証明するか、ということにかかってるんだろうと思います。
oshinobiさんのn=6の場合の計算にも、
最善手の見込みが含まれていますが、
ここのところを直感で通してよければ、
それなりの方程式はできると思います。
結論は、oshinobiさんの通りになると思います。
それにしても
$x_{6}<x_{1}<x_{5}<x_{2}<x_{4}<x_{3}$
はおもしろい結果です。
もっとも、この大小関係を最善手の見込みで使ってしまっている訳ですが。

3拍手 |

2010-09-16 16:26:39

yo1928

(20pt)

citacitaさんの一般化について、最後まで詰めてはいないのですが、
ひとまず、二つの前提から出発しました。
文字の使い方については、oshinobiさんにならいます。
1） $x_{i}{\leq}x_{j}$ 　ただし $1{\leq}i{\leq}n$ 、 $n+1{\leq}j$
2) $x_{n+1}{\leq}x_{n+2}{\leq}x_{n+3}{\leq}$
すると、
$x_{1}=1+\frac{ 1 }{ n }(x_{3}+x_{4}+\cdots +x_{n}+ x_{n+ 1})$

$x_{n-1}=1+\frac{ 1 }{ n }(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n-2}+x_{2n-1})$

$x_{n}=1+\frac{ 1 }{ n }(x_{1}+x_{2}+x_{3} \cdots +x_{n-1})$
とか、おくことができます。
$i=2 \cdots n-2$ では最善手の選択が出てきて、ちょっと困りますが、
ここまでで大小を比較すると
①もし $x_{n}>x_{1}$ とすると
$x_{1}+x_{2}>x_{n}+x_{n+1}$ となりますが、
これは①の仮定と１）の前提に反しますので、 $x_{1}>x_{n}$ が成り立ちます
ついでに言うと、１）２）の前提より、 $x_{n}$ が最小値であることが示せます。

同様に
$x_{n}{<}x_{1}<x_{n-1}$ 　までは示すことができます。

ここから先は、最善手の選択が出てくるので、まだすっきりとはいっていません。
なお、これは大小の判定だけなので、数列の規則性はまったくわかりません。

3拍手 |

2010-09-17 13:43:46

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