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線形代数

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1qaz2wsx

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解答お願いします。

次の平行な2直線を含む平面の方程式を求めよ。

　　　 $\frac{x-1}{3}{=}\frac{y+2}{4}{=}\frac{z+3}{-5},\frac{x+1}{3}{=}\frac{y}{4}{=}\frac{z-1}{-5}$

この問題は、

a{=}3,b{=}4,c{=}-5

を

$a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0}){=}0$ に代入して考えるんですか？

求め方を教えてください。

2010-09-01 18:21:23

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ka_a9e

(10pt)

2つ直線の方程式を媒介変数表示します。

1つ目の直線は
$\frac{x-1}{3}{=}\frac{y+2}{4}{=}\frac{z+3}{-5} = t {\in} \mathbb{R}$
より
$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -5 \\ \end{pmatrix} t + \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -3 \\ \end{pmatrix}$

2 つ目の直線は
$\frac{x+1}{3}{=}\frac{y}{4}{=}\frac{z-1}{-5} = s {\in} \mathbb{R}$
より
$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -5 \\ \end{pmatrix} s + \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix}$

ただ、これでは2つの直線の方向ベクトルが同じ方向を向いてるので、2つの直線上の点を結ぶベクトルがもう1つ必要になります。
ここでは
$\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -3 \\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -4 \\ \end{pmatrix} = \vec{a}$
の2点を選ぶのが一番楽でしょうか。また、直線の方向ベクトルを
$\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -5 \\ \end{pmatrix} = \vec{b}$
としておきます。

この両方のベクトルと直交するのが求める平面に対する法線ベクトル $\vec{n} = (a, b, c)$ です。
$\vec{a} \cdot \vec{n} = 2a -2b -4c =0$
$\vec{b} \cdot \vec{n} = 3a + 4b -5c =0$
からa:b:cを求め、それを法線ベクトルにすれば求まると思います。
すみません。どうも計算に自信がないのでここまでで…。

2拍手 |

2010-09-01 22:32:50

boincneet

(125pt)

$\frac{x-1}{3}{=}\frac{y+2}{4}{=}\frac{z+3}{-5}$
この直線は点 (1,-2,-3)

を通り、方向ベクトル (3,4,-5)

と平行な直線　 $\cdots(\mathrm{i})$

$\frac{x+1}{3}{=}\frac{y}{4}{=}\frac{z-1}{-5}$
この直線は点 (-1,0,1)

を通り、方向ベクトル (3,4,-5)

と平行な直線　 $\cdots(\mathrm{ii})$

$(\mathrm{ii})$ より、求める平面は点 (-1,0,1)

を通るので、平面の方程式を
　 a(x+1)+by+c(z-1){=}0

とおきます（ここで仮に $a\ne0$ としておきます）。 $(\mathrm{i})$ より、これが点 (1,-2,-3)

を通るので
　 $2a-2b-4c{=}0 \ \therefore a-b-2c=0 \cdots(\mathrm{iii})$
また、この平面はベクトル (a,b,c)

に対して垂直な平面であり、平面が2直線を含むので直線の方向ベクトル (3,4,-5)

について
　 $(a,b,c)\perp(3,4,-5)$
　 $\therefore \ (a,b,c)\cdot (3,4,-5) = 0$
　 $\therefore \ 3a+4b-5c=0 \ \cdots (\mathrm{iv})$

$(\mathrm{iii})\times 5-(\mathrm{iv})\times 2$ より
　　 $-a-13b=0 \ \therefore b = -\frac{1}{13}a$
$(\mathrm{iii})\times 4+(\mathrm{iv})$ より
　　 $7a-13c=0 \ \therefore c=\frac{7}{13}a$
これらを平面の式に代入して
　　 $a(x+1)-\frac{1}{13}ay+\frac{7}{13}a(z-1){=}0$
両辺を

で割って13をかければ
　　 13(x+1)-y+7(z-1){=}0

もし

とすると

となり平面の式にならないので不適。そのため仮に $a\ne0$ としておきました。

2拍手 |

2010-09-01 22:55:05

Mitsuo

(50pt)

外積を用いた解答を思いついたので書きます。

二つの直線の方向ベクトルは同じ $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -5 \\ \end{pmatrix}$ なので、同じ平面内の線形独立なもう一つのベクトルを見つけなければいけません。

そこで、二つのベクトルがそれぞれ通る点 $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -3 \\ \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix}$ を減算します。
$\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -3 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 4 \\ \end{pmatrix}$

これにより同じ平面内の線形独立なベクトル、 $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -5 \\ \end{pmatrix}$ 、 $\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 4 \\ \end{pmatrix}$ が見つかったので求める平面の法線ベクトルを外積で求めます。
$\begin{vmatrix} \ \ i \ \ \ j \ \ \ k \\ \ \ \ 3 \ \ \ 4 \ -5 \\ -2 \ \ 2 \ \ \ 4 \end{vmatrix}=(16+10,10-12,6+8)=(26,-2,14)$
よって平面の方程式は、
26(x+1)-2y+14(z-1)=0

両辺を2で割って、

3拍手 |

2010-09-02 00:49:55

1qaz2wsx

(0pt)

求める平面は点

を通るとありますが、なぜ分かるんですか？

2010-09-02 15:46:24

shogo82148

(24pt)

求める平面は与えられた2直線を含むので、2直線上の点は求める平面にも含まれます。

ka_a9e さんが求めてくださった直線の媒介変数表示で、t=0,s=0とおけば、
一つめの直線は(1,-2,-3)を
二つめの直線は(-1,0,1)を
通ることはすぐに分かります。
したがって、この二点は求めたい平面にも含まれているわけです。

この２点のどちらかを選べばよいので、(1,-2,-3)を選んで
13(x-1)-(y+2)+7(z+3)=0

としても正解です。展開すると他の二人と全く同じ式が得られるはずです。

2拍手 |

2010-09-02 16:17:00

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