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積分計算

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watanabe

(17pt)

$\int_{-1}^{1} {\left\ \frac{x^2}{1+e^x} \right\ dx}$ が分かりません。どうやったら解けるのでしょうか？

2010-06-13 23:12:18

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ippeko

(3pt)

解けているかわかりませんが・・・

与式
$I=\int_{-1}^{1}\frac{x^2}{1+e^x}dx$ 　　　　と置く。

まず、
$I_{1}=\int\frac{1}{1+e^x}dx$ 　　を考える。
$I_{1}=\int\frac{1}{1+e^x}dx=\int\frac{1}{e^x(e^{-x}+1)}dx=\int\frac{e^{-x}}{e^{-x}+1}dx$

$e^{-x}+1=t$ と置くと　 $\frac{dt}{dx}=-e^{-x} \Leftrightarrow dx=-e^x{\cdot}dt$

置換積分する。

$I_{1}=\int\frac{e^{-x}}{t}\cdot(-e^x)dt=-\int\frac{1}{t}dt=-\log(e^{-x}+1)+C$ 　　　　（Ｃは積分定数）

$I_{1}$ を使って与式を部分積分
$I=[-x^2\log(e^{-x}+1)]_{-1}^{1}+2\int_{-1}^{1}x\log(e^{-x}+1)dx$
$=\log(\frac{e+1}{e^{-1}+1})+2\int_{-1}^{1}x\log(e^{-x}+1)dx$ ・・・・・(1)

※ここから下は自信なしです。変なことが起こりますｗ

$I_{2}=\int\log(e^{-x}+1)dx$ 　を考える。

先んず　　　 $\{\log(e^{-x}+1)\}$

$I_{2}=\int{1\cdot\log(e^{-x}+1)dx}=-\frac{1}{1+e^{x}}+\int\frac{x}{1+e^x}dx$ $=-\frac{1}{1+e^x}-x\log(e^{-x}+1)+\int\log(e^{-x}+1)dx$
$=-\frac{1}{1+e^x}-x\log(e^{-x}+1)+I_{2}$ 　　　　　・・・・・(2)

両辺から $I_{2}$ を引くと

$0=-\frac{1}{1+e^x}-x\log(e^{-x}+1)$ 　　　　　　　　　　(@。@!!!)なんじゃコリャ
$\frac{1}{1+e^x}=x\log(e^{-x}+1)$

これを(1)に代入すると
$I=\log(\frac{e+1}{e^{-1}+1})+2\int_{-1}^{1}\frac{1}{1+e^x}dx$
$=\log(\frac{e+1}{e^{-1}+1})+2[-\log(e^{-x}+1)]_{-1}^{1}$

$=\log(\frac{e+1}{e^{-1}+1})+2\{-\log(e^{-1}+1)+\log(e+1)\}$
$=\log(\frac{e+1}{e^{-1}+1})+2\log(\frac{e+1}{e^{-1}+1})$
$=3\log(\frac{e+1}{e^{-1}+1})$

よって答えは $3\log(\frac{e+1}{e^{-1}+1})$ ですかねぇ・・・

なんか、(2)あたりもそんなことして大丈夫なのか？？ってちょっと心配になりますが。
最後、少しまとまった答えになったので、、、

朝、ジョイフルで2時間かけて解きましたからね。
まぁすっきりといえばスッキリですが。

間違っていたらご指摘お願いします。

2拍手 |

2010-06-14 07:53:31

natrium

(84pt)

を求めるときの部分積分に間違いがあります。

$I_2=\int1\cdot \log\left(e^{-x}+1\right)dx$
ここで、 f(x)

を積分する関数、

を微分する関数と置くと

f(x)=1

$g(x)=\log\left(e^{-x}+1\right)$
としているのだと思いますが、部分積分の公式は f(x)

の原始関数を

とおくと

$\int f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-\int F(x)g$
なので、

$I_2=\int 1\cdot\log{\left(e^{-x}+1\right)}dx$

$=x\log\left(e^{-x}+1\right)+\int \frac{x}{1+e^x}dx$

$=x\log\left(e^{-x}+1\right)+\left{-x\log\left(e^{-x}+1\right)+\int\log{\left( e^{-x}+1\right)}dx \right}$

$=\int\log{\left( e^{-x}+1\right)}dx$
となり、初めの I_2

の式と同じ形に戻ると思います。

4拍手 |

2010-06-14 08:28:21

ippeko

(3pt)

確かに・・・

そうですねぇ。ってか普通に積分間違えていますねｗ

ふりだしに戻ってしまった（泣）

0拍手 |

2010-06-14 08:48:33

watanabe

(17pt)

ちなみに答えは $\frac{1}{3}$ になります。

2010-06-14 10:29:02

ukikagi

(15pt)

$f(x) = \frac{x^2}{1 + e^x}$
$I = \int_{-1}^{1} {\left\ f(x) \right\ dx}$
とすると、

$\int_{-1}^{1} {\left\ f(-x) \right\ dx} = \int_{-1}^{1} {\left\ f(x) \right\ dx} = I$

$f(x) + f(-x) = \frac{x^2}{1+e^x} + \frac{x^2}{1+e^{-x}}= \frac{x^2(1+e^x)}{1+e^x} =x^2$
より、

$\int_{-1}^{1} {\left\ f(x) \right\ dx} +\int_{-1}^{1} {\left\ f(-x) \right\ dx}=\int_{-1}^{1} {\left\ x^2 \right\ dx}=\left[ { \frac{1}{3}x^^3 } \right]_{-1}^{1}=\frac{2}{3}$
であるから

$I + I = \frac{2}{3}$

$I=\frac{1}{3}$

という手順で、とりあえずは求められると思います。

3拍手 |

2010-06-14 22:24:49

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