解はですね。

まず、結論からいうと、この方程式の解は、式変形によって求めることが出来ないと思います。
方程式を変形してx=の形にすることは、ランベルトのW関数(の逆関数)を用いれば出来るかも知れませんが(かなり複雑な式になると思います)、W関数自体が初等関数ではないので、解析的に解を求めることが出来ません。

したがって、この手の方程式の解を導くには、グラフを描いてそれっぽい値を代入して調べていくか、ニュートン法などを用いて数値解析をしていくのが良いのではないでしょうか。

式変形する方法ではないですが、
仮にグラフで解く場合は式を二つに分けて書く場合が多いです。

この場合、　　　と　　　の二つを考えて、
それぞれを同じグラフにプロット・描画します。
いずれも一般的な式なので描くのは簡単ですよね。

与式より、この両者が等しくなる x を知りたいわけですので、
グラフ上の二つの曲線の交点が答になります。
今回の場合、(1,0) と (2,1) ですね。

・・・ついでに次のようなテクもあります（制御工学で重宝します）。

　など複雑そうな周期関数をプロットするとき、
先ほどと同じように、　　と　　に分けて考えます。
まず　　をグラフに描きます。（マイナスのほうを忘れないでください）
次に　　ですが、これは　　に内接する形になるはずなので、
そうなるように点をプロットし、滑らかにつなぐと出来上がりです。

お役に立てれば幸い。＾＾

運営者です。
本日より、本文中に画像が貼り付けるようにしました！

ちょうどこのＱ＆Ａでもグラフの議論がされてるみたいですので、グラフの画像を貼り付けてみたいと思います。



グラフや電気回路など、文章だけでは伝わりにくいときに、ぜひご利用ください！

 いわゆる代数的には解けないので、
グラフの概形を考えて、
微分とか使って、この２点以外に交点を持たないことを示すのでしょうか。

とすると、微分して





これで実数解が最大2個である証明になるんじゃないでしょうか。