数検準一級一次過去問（不定積分）
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gentle
(53pt)
次の不定積分はどのように求めればいいのでしょうか。

\int{\frac{ e^{x} }{ e^{x}+e^{-x} } dx}


分数関数と指数関数の積分を組み合わせて解くと思っているのですが、うまく答えを導くことができません。
ご回答お待ちしております。
2010-07-29 12:33:13
yuzuhiko
(6pt)
e^x = t  と置きます。
次に両辺のlogをとります。
log(e^x)=log(t)
すなわち
x=log(t)
です。
よって、
\frac{dx}{dt}=\frac{1}{t}
です。

以上の計算から、質問の不定積分は次のように変換できます。

\int{\frac{t}{t+\frac{1}{t}}}\frac{1}{t}dt
すこし計算すると
\int{\frac{t}{t^2+1}}dt
となります。
\int{\frac{1}{2}\frac{(t^2+1)'}{t^2+1}dt
です。これは
\frac{1}{2} \log(t^2+1)
の微分になっていますね・・・後は
t=e^x
に置き換えるだけです。
5拍手 |
2010-07-29 13:37:59
gentle
(53pt)
早速のご回答ありがとうございます。

\int{\frac{t}{t^2+1}}dt

となるところまでは理解できましたが、下記を導くにはどうしたらよいのでしょうか。
前後の繋がりがよくわかりません。

\int{\frac{1}{2}\frac{(t^2+1)'}{t^2+1}dt


もう少し補足して頂けると助かります。
よろしくお願いします。
2010-07-29 13:49:39
tesuto
(9pt)
 \int{\frac{g'(x)}{g(x)}dx}=\log{g(x)}
という性質を利用したいので，

 \int{\frac{t}{t^2+1}dt}
=\int{\frac12\frac{2\cdot t}{t^2+1}dt}
=\int{\frac12\frac{\left(t^2+1\right)'}{t^2+1}dt}
という変形を施したのです

2拍手 |
2010-07-29 20:08:17
gentle
(53pt)

理解できました。

ご回答有難うございました。

2010-07-30 00:56:40
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