面積を求める問題で。
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hello
(9pt)

u=x^2-xy+y^2　　　　v=x^2+xy+y^2

によって定められる(x,y)平面から、(u,v)平面への写像Ｆを考える。

D:x^2+(y-1)^2\leq\frac{1}{2}
のＦによる像E=F(D)の面積を求めよ。




この問題の解答が、

J(x,y)=\begin{vmatrix}u_x&u_y\\v_x&v_y\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2x-y&-x+2y\\2x+y&x+2y\end{vmatrix}

=4(x^2-y^2)

領域ＤにおいてJ(x,y)<0だから、図形Ｅの面積は
\int\int_Edudv = 4\int\int_D|x^2-y^2|dxdy=4\int\int_D(y^2-x^2)dxdy





と書いてあるのですが、最後のところらへんの説明がよくわかりません。
領域ＤにおいてJ(x,y)<0とはどういうことですか？？
最後の式でも途中で絶対値になったり絶対値じゃなくなったりとこれもわかりません。
わかる方。教えてください。お願いします。
2010-05-31 10:40:46
hyonhina
(5pt)
Dの式を弄ると、
x^2\leq-(y^2-2y+\frac{1}{2})
となります。
これを用いると、J(x,y)は
4(x^2-y^2)\leq4(-(y^2-2y+\frac{1}{2})-y^2)=4(-2(y^2-y)-\frac{1}{2})<0
となり、J(x,y)=4(x^2-y^2)<0が示せます。
4(-2(y^2-y)-\frac{1}{2})<0が成り立つのは、y^2-yが常に0以上の値をとり、結果的に全体の式が常に0未満を満たすためです。


\int\int_Edudv = 4\int\int_D|x^2-y^2|dxdy=4\int\int_D(y^2-x^2)dxdy
上記の式の絶対値が外れるのは、|x^2-y^2|と(y^2-x^2)は等価だからです。
|z|のzが常に負の値を取るならば、(-z)として絶対値を外しても同じということです。



3拍手 |
2010-05-31 14:49:33
hello
(9pt)
なるほど。
確かにそうですね。

でも、もしこう考えなければいけないとなると、
参考書の解答に、少しは書いておいてほしいものですね。
2010-06-01 11:42:18
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