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微分積分の問題です。

数学（大学）微分削除

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torres-no09

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Ⅰ
（１）　F(x)= $\textcolor{blue}{[}\sqrt{1-x^{2}\textcolor{red}{|}}\textcolor{blue}{]}$ をn回微分すると？

（２）　F(x)= $\textcolor{blue}{[}\sqrt{1-x^{2}\textcolor{red}{|}}\textcolor{blue}{]}$ の漸近展開をo( $x\textcolor{blue}{[}^{6\textcolor{red}{|}}\textcolor{blue}{]}$ )を用いて表せ。

（３）　F（x）= $\textcolor{blue}{[}\frac{ \mbox{Sin}^{-1}(x)\textcolor{red}{|} }{ \sqrt{1-x^{2}} }\textcolor{blue}{]}$ をn回微分すると？

（４）　　F（x）= $\textcolor{blue}{[}\frac{ \mbox{Sin}^{-1}(x)\textcolor{red}{|} }{ \sqrt{1-x^{2}} }\textcolor{blue}{]}$ の漸近展開をo( $x\textcolor{blue}{[}^{6\textcolor{red}{|}}\textcolor{blue}{]}$ )を用いて表せ。

Ⅱ
次の関数の漸近展開をo( $x\textcolor{blue}{[}^{5\textcolor{red}{|}}\textcolor{blue}{]}$ )を用いて表せ。

（１） $(\textcolor{red}{|}1-x^{2})$ cosx

（２) $\textcolor{blue}{[}\log{\textcolor{red}{|}}\textcolor{blue}{]}$ （１＋ $e^{x}\textcolor{red}{|}$ ）

よろしくお願いします。

2010-07-16 12:59:31

yo1928

(20pt)

計算結果はさておき、
（３）（４）につながっていくとすると
$x=sin{\theta}$ とかおくのでしょうか。
または、
$\frac{d}{dx}{arcsin{x}=\frac{ 1 }{ \sqrt{1-x^2}}$
を使って、

の漸近展開を求めて、
それを項別に微分して、掛け合わせるなんてことをやってしまうのでしょうか。
なかなか、単なる計算問題だけではないスリリングな問題だと思いました。

1拍手 |

2010-09-20 22:49:52

yo1928

(20pt)

１の問題ですが、
n回微分というのが、よくわかりません。
３回までやってみましたが、n回にむけてうまい規則性が発見できません。
ひとまず、上の方針に従って微分してみると
$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{d{\theta}}\frac{1}{\frac{d{\theta}}{dx}}$
      $=-sin{\theta}{\times}\frac{1}{cos{\theta}}$
      $=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$
もう一回やると
   $-\frac{1}{{cos^3{\theta}}}$
となりますので
２回微分は　
   $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}^3}$ となります。
３回微分は
$-\frac{3sin{\theta}}{cos^5{\theta}}$ 　なので　 $-\frac{3x}{\sqrt{1-x^2}^5}$ となります。
４回微分は
$-\frac{3(1+4x^2)}{\sqrt{1-x^2}^7}$
よってここまでの漸近展開は
$1-\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{8}+o(x^6)$ となります。
（３）は　 $x=sin{\theta}$ 　とおくと
$\frac{\theta}{cos{\theta}}$ となるので、これを微分していくことになります。
２回目でやめてしまいました。
うまいこと計算していく方法はあるのでしょか？

0拍手 |

2010-09-21 18:02:49

shogo82148

(24pt)

解けそうで解けない・・・

arcsinが出てきたので、arcsinの微分を使えないかと調べてみたら
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1427869594
というページを見つけました。
これを参考に別のアプローチで考えてみたので、とりあえず途中まで書いてみることにします。

(1)の問題の一階微分はすでに示されているように

$f'(x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}$

となります。ここで微分した結果と、元の関数をよく見比べると次のような関係が成り立つことがわかります。

$xf(x)+(1-x^{2})f'(x)=0$

この左辺を、ライプニッツの公式を用いてn階微分(nは2以上)すると

$(1-x^{2})f^{[n+1]}(x)-(2n-1)xf^{[n]}(x)+(-n^{2}+2n)f^{[n-1]}(x)=0$

という関係式を導くことが出来ます。
(1-x^2)

は3階微分以上が0であることを利用しているので、nは2以上である必要がありますが、
n=0, n=1の場合も同じ関係式が成り立つことが確認できます。

この関係式は漸化式となっているので、 f(x)

と

が分かれば、順番にn階微分を求める事ができます。
あとはこれを一般化すればいいわけですが、これから先がよくわかりません。

(2)は割と簡単にできそうです。
x=0と置けば

$f^{[n+1]}(x)=(n^2-2n)f^{[n-1]}(x)$

と書けます。必要なのは5階微分までなので、地道に手計算すれば答えが得られるはずです。
この程度なら、一般化もできそうですね。

と、ここまで考えて力尽きてしまいました。
あとでチャレンジしてみたいと思います。

0拍手 |

2010-09-22 16:30:22

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