「解析学の演習問題」 - NazoLab なぞらぼ科学系ソーシャルコミュニティ

解析学の演習問題

数学（大学）

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magicman2

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解析学の演習問題でとけない問題があり困っています。教えてください。

$|\varphi (z) | \leq 1 + |z|$ をみたす $\mathbb{C}$ 上正則な関数 $\varphi (z)$ を（すべて）もとめよ。

2012-01-11 22:01:05

delter

(22pt)

$\varphi(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^n$ とし, R{>}0

を十分大きく取る.
$a_{n}=\frac{1}{2\pi i}\int_{|{\xi}|=R}\frac{\varphi(\xi)}{\xi^{n+1}}d\xi$ より
$n{\geq}2$ の時
$|a_{n}|{\leq}\frac{1}{2\pi}\int_{|{\xi}|=R}\frac{|\varphi(\xi)|}{|\xi^{n+1}|}|d\xi|$
       ${\leq}\frac{1}{2\pi}\int_{|{\xi}|=R}\frac{1+|\xi|}{|\xi^{n+1}|}|d\xi|$         $(|\varphi(z)|{\leq}1+|z|)$
      $=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{1+R}{R^{n+1}}Rd\theta$     $(\xi=Re^{i{\theta}})$
      $=\frac{1+R}{R^{n}}{\rightarrow}0$ $(R{\rightarrow}{\infty})$
よって $\varphi(z)=a_{0}+a_{1}z$
元の不等式より $|a_{0}+a_{1}z|{\leq}1+|z|$ ・・・ (A)

これが任意の $z{\in}\mathbb{C}$ で成立するような $a_{0},a_{1}$ を用いて $\varphi(z)=a_{0}+a_{1}z$ と書けるものが求めるものです.
不等式 (A)

の評価については他の人に任せます.

1拍手 |

2012-01-11 22:49:48

この質問への回答は締め切られています

一言投稿 (Ｑ＆Ａに関して、思ったことなどをつぶやいてみよう！)

delter　回答が締め切られてしまったのでこっちに書きます.(A)⇔|a_{0}|,|a_{1}|<=1となります　 (12/1/12)

delter　ちなみに京大理学研数学専攻の平成5年の院試,数学1(A)に同じ問題があります　 (12/1/11)

文字	分数・べき乗根	極限	微分・積分
大型演算子	記号・かっこ	関数	線形代数
2項演算子	関係演算子	対数	ギリシャ文字