「であり、Cの頂点の座標はである」ことは

Cは点を通ることから導けるので、

そこまでの解答は書いておいていただいたわけですよね。



さて、における最大値、最小値についてですが、

幸いにもCの頂点の x 座標が 6 と分かっているので、

a＞0 ならば x=2 で最大値、 x=6 で最小値をとり、
a＜0 ならば x=6 で最大値、 x=2 で最小値をとり、

ということが分かります。



Ⅰ．a＞0のとき

M=2a^2+5a-6、　m=2a^2-11a-6

より、3( 2a^2+5a-6 )＜| 2a^2-11a-6 | を解けばよいわけです。

ただし、 となるとき、明らかに m＜0 でなくてはならないので、

3(2a^2+5a-6)＜－( 2a^2-11a-6 ) 　かつ　2a^2-11a-6＜0　かつ　a＞0

この連立不等式を解いて 0＜a＜1


Ⅱ．a＜0のとき

M=2a^2-11a-6、　m=2a^2+5a-6、

より、同様に

3( 2a^2-11a-6 )＜－( 2a^2+5a-6 )  　かつ　2a^2+5a-6＜0　かつ　a＜0

この連立不等式を解いて (7-√97)/4＜a＜0　　←計算自信なし


よってⅠⅡより、(7-√97)/4＜a＜0、0＜a＜1

計算間違いの可能性はありますが、道筋はこれでいいと思います。

2点補足します。

1. 最大値、最小値について

＞　幸いにもCの頂点の x 座標が 6 と分かっているので、
＞　a＞0 ならば x=2 で最大値、 x=6 で最小値をとり、
＞　a＜0 ならば x=6 で最大値、 x=2 で最小値をとり、

これは、以下の判断が入っているため、 が最大値、最小値に無関係となっています。




2.  の場合について

 の時と同じように　　 と簡単に判断できないので、以下も計算する必要があると思います。

 

これを計算すると、




  と　　を比較すると、

　となるので、


上記解答で正しいと判断できます。

gentleさん

補足ありがとうございます。



補足１についてはまったくその通りです。


補足２については、a の値に関係なく、条件  から

m＜0 であることがいえます。


直感的には

「最大値より最小値の絶対値が大きくなるんだから、

m＜0 じゃなきゃおかしいだろう」

という発想になりますが、

証明すると次のようになります。

最大性、最小性から m＜M

両辺を3倍して 3m＜3M

これと条件  より　3m＜|m|

これを満たすmの値の範囲は　m＜0


この辺りのことを省略してしまったのは

解答として不親切でした。失礼しました。

9421163zzxさん

＞　補足２については、a の値に関係なく、条件  から
＞　m＜0 であることがいえます。

確かにその通りですね。
回答の追記、有難うございました。