うむむ、みんな元気だな（笑

風当たりの理由の一つとして、imai927さんの出し惜しみというか、
若干上から目線にも感じられないこともない態度があるような気がします。
ここはパブリックなコミュニティですし、「質問に回答する」というシンプルなスタイルが基本のようですから、
数学の奥深さを感じれるように誘導する態度は、上手にそうしないと反発を買うような気がします。
（おそらくこの中には宿題がうまくいけばOKだから答えだけ教えて、というスタンスの人もいるでしょうし）
・・・偉そうで申し訳ないですが、荒れては双方にとってもったいないので言いました。

Mitsuo君の解法は教科書通りでテストでは◎だと思います。
宿題などでも先生はコレを想定して出題するでしょうし。
ただ正直、「積分定数と一般に言われるCをu(x)とおく」テクには自分も違和感があります。
なぜそういう技巧が可能なのか説明できますか？（多くの先生もできないでしょう）。
そこを突き詰めていくことで、より本質的な解法に行き着く可能性があります。
そういう可能性をサイトのスタイルに合わないからと切り捨てるのもモッタイなくないでしょうか？？

§§§　

あってるかどうかわかりませんが(3)をやってみました。↓


右辺から予想より 、 （関数の積の微分）とおきます。
＃これは、問題からとりあえずのパートを切り出す操作にあたる・・・のかな？？

これらを与式に代入すれば次式が得られる。


この微分方程式を右辺から予想して　　とおいて解くと


よって


Mitsuo君のと微妙に答えが違うけど、折角計算したのであげときます。
みんなで解析してもらえればと思います。

申し訳ない。書きミスりました。
uに関する微分方程式の右辺は3乗です。

訂正後：

微分方程式 ｄｙ/ｄｘ＋ｆ(ｘ)ｙ＝ｇ(ｘ)  は　ｕ＝logｙ＋Ｆ(ｘ)  と変換すれば、変数分離形になります。
但し、Ｆ(ｘ)＝∫ｆ(ｘ)ｄｘ

こう考えるべきだと思います。そうすると、定数変化法なんて訳の分からん解法にお世話にならなくても良いことになります。


   

微積分には怪しげなところが多々あります。

変数分離形

ｆ(ｘ)ｄｘ＝ｇ(ｙ)ｄｙ

∫ｆ(ｘ)ｄｘ＝∫ｇ(ｙ)ｄｙ＋Ｃ

Ｆ(ｘ)＝Ｇ(ｙ)＋Ｃ

これは本当に答えになるのかねぇ・・・？　大学教授様がお書きになった本にはそう書いてありますから、多分正しいのでしょうが、ちょっと素直には受け取れませんねぇ。まぁ、試験では確実にＯＫですから、記憶しておきましょう。

（前の書き込みは大分前のようですが・・・・・）

なりますね。
省略して書いてあるだけで、意味は



ですから。

定数変化法も、特殊解が斎次方程式の中でどう振舞うかということを考えれば、至極まっとうな考えかただと
思います。それを思いつくかどうかは別問題ですが。
詳細な証明は調べれば出てきますが、とても長いので書けません。

だからイメージだけ。

言ってみれば特殊解は斎次方程式の余りですよね。

Modになぞらえて考えると、斎次方程式の一般解は常に Modを取ると0です。非斎次方程式はModを取ると
0にはなりませんが、その中の斎次成分(関数)は常に0です。従って、積分定数側に0にならない成分が
無くてはいけない。
積分定数を関数と考えると特殊解が求まるのはそういうことだと思います。