数学A 極限値と収束・発散
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1qaz2wsx
(0pt)
\lim_{{(x,y)\to(1,1)}}{}\frac{ x^{2}y^{2}-1 }{ x y-1} の求め方を教えてください。

\frac{ 2^{n} }{ \sqrt{3^{n}} } で表される数列の収束・発散もできれば教えてください。
2011-09-19 14:35:26
Mr-Kameyama
(4pt)
まず、xy=Aとおくと、

与式=\lim_{(x,y){\to}(1,1)}{\frac{A^2-1}{A-1}}

=\lim_{(x,y){\to}(1,1)}{\frac{(A+1)(A-1)}{A-1}

=\lim_{(x,y){\to}(1,1)}A+1

ここで、A=xyなので、

\lim_{(x,y){\to}(1,1)}A+1
=xy+1=(1*1)+1=2

になると思います。


次に、\frac{2^n}{\sqrt{3^n}}ですが、

与式=\sqrt{\frac{2^{2n}}{3^n}}
=\sqrt{\frac{{({2^2})^n}}{3^n}}
=\sqrt{\frac{4^n}{3^n}}
=\sqrt{(\frac{4}{3})^n}
=(\frac{4}{3})^{n/2}

よって生の無限大に発散する、と思うのですが...。

自分でも、この展開方法でよいのか、疑問です。

そこは、他の方、フォローしてください。


以上。
1拍手 |
2011-09-19 18:28:15
1qaz2wsx
(0pt)
2問とも答えていただきありがとうございます。
x,y=A と置くという発想はありませんでした。よく考えると何かをAと置くことは数学で頻繁に使われますね。

2問目ですが、答えはあっていますがMr-Kameyamaさんも展開方法に疑問があるようなのでより良い解き方を知っている人は引き続き回答よろしくお願いします。
2011-09-19 19:19:52
unknown
(6pt)

\begin{align}
ln\frac{2^n}{\sqrt{3^n}}&=n ln2-\frac{1}{2}n ln3\\
&=n\Big(ln2-\frac{1}{2}ln3\Big).\\
\\
\lim_{n\to\infty}n\Big(ln2-\frac{1}{2}ln3\Big)&=\infty.\\
\lim_{n\to\infty}\frac{2^n}{\sqrt{3^n}}&=\lim_{n\to\infty}e^{n(in2-\frac{1}{2}ln3)}\\
&=\infty.

\end{align}

対数の極限から求めることも出来ます.
(4/3)^(n/2) の解法も同様に正解です.
1拍手 |
2011-09-21 13:26:34
1qaz2wsx
(0pt)

どちらの解き方も良いんですね。
2つの解き方を参考にします。

ありがとうございました。

2011-09-25 16:24:39
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