積分の証明を教えて！
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Mitsuo
(50pt)

\int {\left\ \frac{1}{\sqrt{x^2+A} \right\ dxの積分の証明を教えてください。

自分でやってみたんですが、
\int {\left\ \frac{1}{\sqrt{x^2+A} \right\ dx=\log{|x+\sqrt{x^2+A}|}-\frac{1}{2}\log{A}+Cとなって、

-\frac{1}{2}\log{A}+Cを新たにCで置くことで一応正しい形となったんですが、それでいいんでしょうか？
2010-05-29 17:04:04
watanabe
(17pt)
\int {\left\ \frac{1}{\sqrt{x^2+A} \right\ dx


t = x+\sqrt{x^2+A}とおくと、

\frac{dt}{dx} = 1+\frac{x}{\sqrt{x^2+A}

⇔　dx = \frac{\sqrt{x^2+A}}{\sqrt{x^2+A}+x}dt

となるので、


\int {\left\ \frac{1}{\sqrt{x^2+A} \right\ dx = \int {\left\ \frac{1}{\sqrt{x^2+A} \right\ \frac{\sqrt{x^2+A}}{\sqrt{x^2+A}+x}dt

                               =\int {\left\ \frac{1}{\sqrt{x^2+A}+x} \right\ dt}

                               = \int {\left\ \frac{1}{t} \right\ dt}
                               = \log{|t|}+C
                               = \log{|\sqrt{x^2+A}+x|}+C

だと思います。


2拍手 |
2010-05-29 23:20:00
Mitsuo
(50pt)
なるほど、そんな置き方が・・・
自分は、
x=\sqrt{A}\tan(t)　と置いて計算してかなりやられました。
ありがとうございます！


2010-05-30 01:04:33
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