整数の問題です
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Rinlan
(0pt)
各桁の数が全て１であるn桁の自然数を a_{n} で表す。
例えば、a_{1} =1 , a_{2} =11 , a_{3} =111 である。
このとき、７以上の任意の素数pに対して a_{k} がpの倍数となるようなkが存在することを示せ。

よろしくお願いします。
2011-06-06 19:15:26
delter
(24pt)
a_{k}=\sum_{i=0}^{k-1}10^{i}=\frac{10^{k}-1}{9}であるから特に10^{p-1}-1{\equiv}0(mod9)

10とpは互いに素なのでFermatの小定理より10^{p-1}{\equiv}1(modp)
また9とpは互いに素だから10^{p-1}{\equiv}1(mod9p)
よってa_{p-1}=\frac{10^{p-1}-1}{9}{\equiv}0(modp)となるからk=p-1とすればよい.
2拍手 |
2011-06-06 19:45:37
natrium
(84pt)
a_k{\equiv}0\pmod{p}を満たすkを見つければ良いです。

a_k&=&\sum_{i=0}^{k-1}10^i =\frac{10^k-1}{9}　なのでこれを代入すると

\frac{10^k-1}{9}{\equiv}0\pmod{p}

両辺に9を掛け1を足すと
10^k{\equiv}1\pmod{p}

ここでフェルマーの小定理より、7以上の素数pに対して
10^{p-1}\equiv1\pmod{p}

が成り立つことが知られていますので、k=p-1とすれば
a_{k}=a_{p-1}はpの倍数となることが分かります。
0拍手 |
2011-06-06 19:53:25
一言投稿 (Ｑ＆Ａに関して、思ったことなどをつぶやいてみよう！)
Rinlan　 ありがとうございました　 (11/6/6)
oshinobi　 なんだかフェルマーの小定理っぽいですね　 (11/6/6)

そのままでしばらくお待ちください


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