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振り子の問題

物理（一般）力学削除

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shero

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下図のように質点ｍが点Oより長さｒの糸によって吊り下げられている。この質点に水平に初速度 $v_{0}$ を与える。以下の問いに答えよ。
(3) $v_{0}$ が十分に大きいとき質点は点Oを中心とし半径ｒで回り続ける。このような運動をするための初速度の最小値 $v_{2}$ を求めよ
(4)上記(3)で円周を回るとき、最高点での速度 $v_{3}$ と初速度 $v_{0}$ との関係を求めよ。
(5)初速度が $v_{1}$ と $v_{2}$ の中間にあるときには、どのような運動をするか。

$v_{1}$ ：糸が緩むことなく振り子運動するための初速度の最大値

この３つ問題が分かりません。
(３)は、頂点で速度が０になると、円周上を動かず、落下すると思うのですがどうでしょうか？
よろしくお願いします。

2010-06-28 18:16:02

natrium

(84pt)

(3)を解くのに(4)を使うため、先に(4)から解きます。

初速 v_0

で打ち上げた質点が頂点で速度 v_3

となるとすると、最下点を位置エネルギーの基準点にすれば
(最下点での力学的エネルギー)　= $\frac{1}{2}m{v_0}^2$
(頂点での力学的エネルギー) = $\frac{1}{2}m{v_3}^2+2mgr$ (

は重力加速度)

外力が働いていないので、力学的エネルギー保存則が成り立つため
$\frac{1}{2}m{v_0}^2=\frac{1}{2}m{v_3}^2+2mgr$
これを v_3

について解くと $v_3=\sqrt{{v_0}^2-4gr$

(3) 頂点において質点にかかる重力≦遠心力であれば合力が円の外向きになるため、質点は落下せず円運動をします。
当然、初速を小さくすれば遠心力は小さくなるため、質点に円運動をする最小の初速度を与えたときは、頂点において重力 = 遠心力となります。

(頂点における重力) =

(頂点における遠心力) = $m\frac{{v_2}^2-4gr}{r}$
重力=遠心力より　 $mg=m\frac{{v_2}^2-4gr}{r}$

これを v_2

について解くと　 $v_2=\sqrt{5gr}$

(5) 質点が中心Oより高い位置に動いた後失速し、糸が緩んで(糸が再び張るまで)自由落下をします。

2拍手 |

2010-06-29 01:31:10

shero

(0pt)

解くことができました。ありがとうございました。

2010-07-01 16:20:25

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