解決済
暇なときに
(15pt)
「関数)
が任意の実数
に対して=f(x)+f(y))
を満たすとき、
)
とすると任意の実数
に対して=ax)
が成り立つ」
の真偽を調べようと思っています。
とりあえず反例が思いつかなかったので、成り立つだろうと予想して進めています。
以下のことは示すことができましたが、ここで手詰まりになってしまいました。
1. 任意の整数
に対して=nf(x))
2. 任意の有理数
に対して=aq)
3.が連続ならば、任意の実数
に対して=ar)
どのようにしたら一般の関数に対してこれを証明することができますか？
それとも、やはり命題が成立しないような場合が存在するのでしょうか。
上の証明は以下のように行ないました。ここまでに既に誤りがあればご指摘お願いします。
1.について
+f(0)=f(x))
より、=0)
のとき
)
はを回足せばよいので明らか。（厳密には数学的帰納法を用いて）
のとき、
より
+f(-nx)=f(0)=0)
から、
=-f(-nx)=nf(x))
2.について
整数)
を用いて
と表すと、
=nf(\frac{m}{n})=f(m)=mf(1)=am)
より、
=a\cdot\frac{m}{n}=aq)
3.について（厳密な方法ではないかも）
実数に収束する有理数列
を考えると、
以上です。
の真偽を調べようと思っています。
とりあえず反例が思いつかなかったので、成り立つだろうと予想して進めています。
以下のことは示すことができましたが、ここで手詰まりになってしまいました。
1. 任意の整数
2. 任意の有理数
3.
どのようにしたら一般の関数に対してこれを証明することができますか？
それとも、やはり命題が成立しないような場合が存在するのでしょうか。
上の証明は以下のように行ないました。ここまでに既に誤りがあればご指摘お願いします。
1.について
2.について
整数
3.について（厳密な方法ではないかも）
実数
以上です。
2010-06-27 00:59:41
(3pt)
「関数とは級数展開式なり」この錦の御旗を降ろせばどうなるか？ こんな方向へと数学を発展させるのは大変に結構なことです。これには「この錦の御旗を掲げたならばどうなるか・・・？」こんな微積分を土台としてよくよく心得て置かねばならないでしょう。
まぁ、頑張ってください。
まぁ、頑張ってください。
0拍手 |
2010-06-29 19:13:27
(15pt)
あの後、キーワードを変えて（線形結合など）検索しなおした結果、答えを見つけることができました。
結論からいうと、
（加法性）
を満たすような関数は他にも存在するようです。
ただ証明には線形代数学が関わってくるようで、厳密な議論は自分にはできません。
以下に書くことは、かなり不正確な記述を含むと思われます。
自分の調べた限り、natriumさんの方針が正解のようです。
ただし、実数を
のような形に分解するときに「加法性を保ちながら、かつ全ての実数に対して分解の仕方が一意に定まる」ような方法を数学的に定義するところが難しく、この問題を解決するためにベクトルの考え方（線形代数）を用いるようです。
任意の空間ベクトルが、3個の線形独立なベクトル（基底）の線形結合によって一意に表すことができるように、実数を有理数上のベクトル空間とみることで、任意の実数を基底の線形結合（"有理数倍"と加法）として一意に表すことができます。このときの基底をHamel基底と呼ぶそうです。（基底が存在することは選択公理によって保証されているようです）
http://mathworld.wolfram.com/HamelBasis.html
natriumさんの回答の数列
というのは、これにあたるものだと思います。
（実際にはHamel基底は非可算集合なので、数列としては扱えない？）
このようにして分解の仕方を一意に定めることができれば、例えば、をHamel基底の線形結合として表したときの"1"の係数を
と定義することで「加法性を満たすが、
でない関数」が作れそうです。ただ、基底のとり方によっての値が変わってくる（基底に
を含む場合など）上に、基底のとり方を厳密に定義することは不可能だと思われるので、関数の存在は示せても具体的な例を挙げることはできないものと思います。
以上です。
明らかな間違いがあれば、どなたか指摘してくださると嬉しいです。
最後に、natriumさんに感謝！
結論からいうと、
を満たすような関数は他にも存在するようです。
ただ証明には線形代数学が関わってくるようで、厳密な議論は自分にはできません。
以下に書くことは、かなり不正確な記述を含むと思われます。
自分の調べた限り、natriumさんの方針が正解のようです。
ただし、実数
任意の空間ベクトルが、3個の線形独立なベクトル（基底）の線形結合によって一意に表すことができるように、実数を有理数上のベクトル空間とみることで、任意の実数を基底の線形結合（"有理数倍"と加法）として一意に表すことができます。このときの基底をHamel基底と呼ぶそうです。（基底が存在することは選択公理によって保証されているようです）
http://mathworld.wolfram.com/HamelBasis.html
natriumさんの回答の数列
（実際にはHamel基底は非可算集合なので、数列としては扱えない？）
このようにして分解の仕方を一意に定めることができれば、例えば、
以上です。
明らかな間違いがあれば、どなたか指摘してくださると嬉しいです。
最後に、natriumさんに感謝！
2010-06-29 22:48:06
(3pt)
微積分を構築するための数、記号)は・・・であって、そこに登場する関数とは・・・で御座います。先ず始めに、これを定めて掛からないと確かな微積分は決して構築できません。手探りなら可能です。微積分は西洋の数々の天才数学者によって作られてあり、それは正しいでしょう。天才のインスピレーションであるからには間違いはありませんが、よくよく吟味をして見ると、どうやら確かな証明を与えることが出来そうに無いようです。証明をするための土台が作られてはいないのです。日本に数学者は「分からんところが分からん」これが実態です。
0拍手 |
2010-06-30 11:04:43
この質問への回答は締め切られています
以下の内容で回答を投稿します
よろしいですか？
| 回答内容 |
回答の投稿が完了しました
こちらからご確認ください