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不定積分

数学（高専）不定積分削除

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1qaz2wsx

(0pt)

$\int{\sin(x)\cos^{2}(x)dx}$ 　の解き方を教えてください。

2011-01-24 21:08:05

hello

(9pt)

$\cos^2(x)$ の２乗が邪魔なんですよね？
↓

加法定理より
$\cos(\alpha+\beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)$

ここで $\alpha=\beta=x$ とすると
$\cos(x+x)=\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)$

移項して次のようにする
$\cos^2(x)=\cos(2x)+\sin^2(x)$

ここで
$\sin^2(x)=1-cos^2(x)$
を代入

$\cos^2(x)=\cos(2x)+\{1 - \cos^2(x)\}$

となるのでこれもうまい事、移項して
$2\cos^2(x)=\cos(2x)+1$

両辺を２で割れば
$\cos^2(x)=\frac{\cos(2x)+1}{2}$

こうなる！

これを最初の積分の式に代入すれば計算できるのではないか！？

1拍手 |

2011-01-24 21:25:30

delter

(24pt)

$\int sinx cos^{2}xdx$
$=-\int (-sinx) cos^{2}xdx$
$=-\int (cosx)^{'} cos^{2}xdx$
$=-\frac{1}{3}cos^{3}x+C$

3拍手 |

2011-01-24 21:36:17

natrium

(84pt)

$\int{\sin{x}\cos^2{x}dx}$

$t=\cos{x}$ とおいて置換積分します。
$dt=-\sin{x}dx$ なので

$=-\int t^2 dt$
$=-\frac{t^3}{3}+C$ (

は積分定数)
$=-\frac{\cos^3{x}}{3}+C$ //

【別解】

部分積分の公式を用いると、
$\int{\sin{x}\cos^2{x}dx}$
$=\left(\int\sin{x}dx\right)\cos^2{x}\right)-\int\left(\int\sin{x}dx\right)\left(\cos^2{x}\right)'dx$

$\int\sin{x}dx=-\cos{x}$
及び

$\left(\cos^2{x} \right)'=2\cos{x}\left(\cos{x}\right)'=-2\sin{x}\cos{x}$
を代入すると(積分定数は最後に考えます)、

$=\left(-\cos{x}\right)\cos^2{x}\right)-\int\left(-\cos{x}\right)\left(-2\sin{x}\cos{x}\right)dx$
$=-\cos^3{x}-2\int\sin{x}\cos^2{x}dx$

$-2\int\sin{x}\cos^2{x}dx$ の項を左辺に移項
$3\int\sin{x}\cos^2{x}dx=-\cos^3{x}$

∴ $\int\sin{x}\cos^2{x}dx=\frac{\cos^2{x}-\cos{x}}{3}+C$ 　(

は積分定数)

3拍手 |

2011-01-24 21:52:34

1qaz2wsx

(0pt)

皆さん解答ありがとうございました。

2011-01-24 22:39:17

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一言投稿 (Ｑ＆Ａに関して、思ったことなどをつぶやいてみよう！)

natrium　一番最後の部分の間違いを修正し忘れてたw　正しくは-(cosx)^3 / 3 + C ですね。　 (11/1/24)

thisislove　 helloさんのやり方じゃ・・・解けない気がするのですが。　 (11/1/24)

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