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ひとまず、部分積分です。

       

今回の定積分は、後にわかりますが、広義積分で解く必要があります。
ということで








ここで、
についてですが、

というのは、定義されていないため、そのままでは解けません。
ですから、

と置き

　のとき　　で、

　となり、
ロピタルの定理より





よって






になります。たぶん

ロピタルの定理に関する部分の式変形に間違いがあります．
とおくと，


ロピタルの定理より，


ですね．導かれる極限値は等しいので，解答は上記ので正しいです．

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^3*logx
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+0...1+x^3*logx+dx
参考にどうぞ．

ｗ
間違えた！

ご指摘ありがとうございます。

今回、利用した数式のTexのサンプルを掲載します。

　 　　　　F(x) = \int_{0}^{1} x^3\log{x}dx


　　　　(\log{x})' = \frac{1}{x}


　 　　\int{x^3}dx = \frac{1}{4}x^4 + C


　　
\lim_{a{\to}+0}\int_{a}^{1} x^3\log{x}dx = \lim_{a{\to}+0}\{[\frac{1}{4}x^4\log{x}]_{a}^{1} - \frac{1}{4}\int_{a}^{1}x^3dx\}