ε-N論法について質問です。
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bonobono
(1pt)
すみません。題名通りε-N論法について質問があります。

lim[n→∞] ∫[0,π/2] (sinx)^ndx＝0をε-N論法を用いて示せという問題の

解答の一部で質問があります。

以下0＜ε＜π　として考える。
s(ε)＝sin{(π－ε)/2} とおくと、0＜s(ε)＜1なので
lim[n→∞] {s(ε)}^n＝0となるので

『∀0＜ε＜π、　∃N(自然数)、 s.t. n≧N
⇒|{s(ε)}^n－0|＜ε /(π－ε)』

とかいてあったのですが太字の『』内で３つ質問があります。

①今回は積分区間 [0,π/2] と s(ε) の兼ね合いで
0＜ε＜π として考えているのですが、
一般に数列の極限を示すときには∀ε＞0
としないといけないと思うのですがこれでも
よいのでしょうか？

②∃Nの自然数の存在についてですが、
0＜s(ε)＜1なのでn≧Nのとき 
|{s(ε)}^n－0|≦{s(ε)}^N　がいえるので

{s(ε)}^N＜ε /(π－ε) となるような自然数Nを探してやればよいので
両辺は0より大きいことから両辺に自然対数を取ると、
N*ln{s(ε)}＜lnε－ln(π－ε)
⇔N＞{lnε－ln(π－ε) }/ln{s(ε)}
(∵0＜s(ε)＜1よりln{s(ε)}＜0)
今、自然数となるNを考えているので
N＝1＋max{0, | {lnε－ln(π－ε) }/ln{s(ε)} | }
(Nの不等式の左辺をガウス記号をつけた)
たるNでよいでしょうか？

③{s(ε)}^n－0|＜ε /(π－ε)　の左辺の
ε /(π－ε)　ですが、0＜ε＜π　で　0＜ε/(π－ε)＜∞　となりますが、
一般にはεの(Nに依存しない)正の実数倍でないといけないと習いましたが
こんな特殊な取り方をしても大丈夫なのでしょうか？

どなたか教えてください。お願いします。
2010-10-16 21:53:26
koko_u
(22pt)
面倒なので a_n = \int_0^{\pi/2} (\sin{}x)^n dx として

① \pi より大きな \epsilon_0 を考えたときに、\epsilon = \frac{\pi}{2}  に対する N をもって n \geq N \Rightarrow |a_n| < \frac{\pi}{2} が言えれば、当然、 n \geq N \Rightarrow |a_n| < \epsilon_0 です。

② そうです。具体的な Nの値は本質的な問題ではありませんが。

③ あくまで a_n を評価したいということです。なので、\frac{\epsilon}{\pi - \epsilon} を使用しているのも、N を見出すときの技術的な都合です。
単純に最終形を |a_n| < \epsilon の形に調整したいためだけに、「一般にはεの(Nに依存しない)正の実数倍でないといけないと習いました」などという授業が行われているとしても、無視してかまいません。

ご自身も書かれているように、\epsilon-N 論法の要点は \epsilon に応じて十分大きな N が取れることだけです。
N さえ見つけられるなら、模範解答の通りでなくてもまったく問題ありません。
1拍手 |
2010-10-16 23:34:55
nanashibito
(22pt)
（１）一般に、次の２つは同値であることがいえます：

（ア）\forall\varepsilon>0\;,\exists N{\in}\mathbb{N} \;s.t.\;n{\geq}N{\Rightarrow}|a_{n}-a|<\varepsilon
（イ）\pi>\forall\varepsilon>0\;,\exists N{\in}\mathbb{N} \;s.t.\;n{\geq}N{\Rightarrow}|a_{n}-a|<\varepsilon

ここで、（イ）は、「\piより小さい任意の\varepsilon>0に対し～」という意味です。

（ア）{\Rightarrow}（イ）どんな正の数\varepsilonに対しても\exists N{\in}\mathbb{N} ～がいえるので、\pi>\varepsilon>0なる\varepsilonに対してももちろん\exists N{\in}\mathbb{N} ～がいえます。

（イ）{\Rightarrow}（ア）\pi>\varepsilon_{0}>0なる\varepsilon_{0}を固定してとります。条件から、

\exists N{\in}\mathbb{N} \;s.t.\;n{\geq}N{\Rightarrow}|a_{n}-a|<\varepsilon_{0}　　　　・・・（＊）　

がいえます。
さて、問題は\varepsilon{\geq}\piなる任意の\varepsilonに対してどんな番号Nをとればよいか？ということです。
実は、上の（＊）で出てきた番号Nをとればいいです。実際そうすると、（＊）のことから
n{\geq}N{\Rightarrow}|a_{n}-a|<\varepsilon_{0}　でしたが、\varepsilon_{0}<\pi\leq\varepsilon　なので、結局|a_{n}-a|<\varepsilonとなります。

今は（イ）のところで、\varepsilonを\piより小として限定しましたが、\piのところを別の正定数にしても同じことがいえます。
\varepsilonはとにかく小さいものとして考えておけばOKということだと思います。

（２）まず、\max\{0,\left|\frac{ \log {\varepsilon}-\log (\pi-\varepsilon) }{ \log s(\varepsilon) }\right|\}のところは、\left|\frac{ \log {\varepsilon}-\log (\pi-\varepsilon) }{ \log s(\varepsilon) }\right|\geq0ですので結局
\max\{0,\left|\frac{ \log {\varepsilon}-\log (\pi-\varepsilon) }{ \log s(\varepsilon) }\right|\}=\left|\frac{ \log {\varepsilon}-\log (\pi-\varepsilon) }{ \log s(\varepsilon) }\right|　でいいかと思います。
それでN=1+\left[\;\left|\frac{ \log {\varepsilon}-\log (\pi-\varepsilon) }{ \log s(\varepsilon) }\right|\;\right] 　（ただし[ ]はガウス記号）とおけば、
Nはちゃんと自然数になりますし、bonobonoさんの式変形を逆に辿って、Nが求めたいものになってることが確認できます。
また、粗い言い方をするなら「N>\frac{ \log {\varepsilon}\;-\log (\pi-\varepsilon)}{ \log s(\varepsilon) }なるように十分大きい自然数Nをとれば・・・・・・」でもいいかと。
（３）最終的に示したいのは、\lim_{n{\to}\infty}{\int_{0}^{\frac{ \pi }{ 2 }}(\sin x)^{n}dx}=0　　・・・（♯）でした。
それで今、\pi>\forall\varepsilon>0,\exists N{\in}\mathbb{N}\;s.t.n{\geq}N{\Rightarrow}|s(\varepsilon)^{n}-0|<\frac{ \varepsilon }{ \pi-\varepsilon }　がいえてるということですね。
おそらくその解答は、このことを利用して（♯）を示すという流れだと思います。
1拍手 |
2010-10-17 00:08:17
bonobono
(1pt)
nanashibito様、koko_u様、お二方ありがとうございました。
 
2010-10-17 13:43:12
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