微分演算子
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dr-pie-ru
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\frac{d^{2}y}{dx^{2}}{-}{6}\frac{dy}{dx}{+}{13}{y}{=}e^{x}\sin(x)






東工大の入試問題で
特殊解の求め方が分からないので
お願いします。
2010-09-17 21:36:04
boincneet
(125pt)
未定係数法で解くことにします。

y''-6y'+13y=0として特性方程式\lambda ^2-6\lambda+13=0の解は
　\lambda = 3 \pm 2i \ne 1 \pm i
よって特殊解v(x)を
　v(x)=e^{x}\left\{A\cos (x)+ B\sin(x)\right\}
とすると
　\begin{align} v'(x) & = e^{x}\left\{A\cos (x)+ B\sin(x)\right\}+e^{x}\left\{-A\sin (x)+ B\cos(x)\right\} \\ & = e^{x}\left\{(A+B)\cos (x)+ (-A+B)\sin(x)\right\} \\ \end{align}
\begin{align} v''(x) & = e^{x}\left\{(A+B)\cos (x)+ (-A+B)\sin(x)\right\}+ e^{x}\left\{-(A+B)\sin (x)+ (-A+B)\cos(x)\right\} \\ & = e^{x}\left\{2B\cos (x) -2A\sin(x)\right\}\\ \end{align}
これをy''-6y'+13y=e^{x}\sin(x)に代入して整理すると
　e^{x}\left\{(7A-4B)\cos (x)+ (4A+7B)\sin(x)\right\}=e^{x}\sin(x)
\therefore \begin{cases} 7A-4B = 0 \\ 4A+7B = 1 \\ \end{cases}
これを解くと
　A=\frac{4}{65},\ B= \frac{7}{65}
よって
　v(x)=e^{x}\left\{\frac{4}{65}\cos (x)+ \frac{7}{65}\sin(x)\right\}

これを元の式に代入して検算すれば合うと思います。
0拍手 |
2010-09-18 21:51:17
boincneet
(125pt)
回答で抜けている部分がありましたので書き直しました。
拍手（4つ）をしていただいた方、ありがとうございました。
0拍手 |
2010-09-18 21:54:53
dr-pie-ru
(0pt)

ありがとうございました！！
とても分かりやすかったです。

2010-09-19 13:42:58
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