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shero

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定積分

$I(\alpha,\beta)=\int_{0}^{\infty} \exp(-\alpha x)\frac{\sin\beta x}{x}dx$

$(\alpha\geq0,\beta\neq0)$ をパラメータ $\beta$ について微分することにより

$\int_{0}^{\infty} \frac{\sin\beta x}{x}dx = sign(\beta) \frac{\pi}{2}$
を導け。ここで、 $sign(\beta)$ は $\beta$ の符号（±）（βが正値の場合＋、負値の場合は－）を意味する。

この問題がわかりません。解ける方よろしくお願いします。

2010-06-15 16:50:44

Mitsuo

(50pt)

$\frac {\partial{I}} {\partial{\beta}}=\int_{0}^{\infty} {\left\ xe^{-\alpha x}\frac{\cos(\beta x)}{x} \right\ dx}$

       $=\int_{0}^{\infty} {\left\ e^{-\alpha x}\cos(\beta x)\right\ dx}$
これを二回部分積分すると、

$\frac {\partial{I}} {\partial{\beta}}=\frac{1}{\alpha}-\frac{\beta^2}{\alpha^2}\int_{0}^{\infty} {\left\ e^{-\alpha x}\cos(\beta x) \right\ dx}$

        $=\frac{1}{\alpha}-\frac{\beta^2}{\alpha^2}\frac {\partial{I}} {\partial{\beta}}$

$(1+\frac{\beta^2}{\alpha^2})\frac {\partial{I}} {\partial{\beta}}=\frac{1}{\alpha}$

$\frac {\partial{I}} {\partial{\beta}}=\frac{\alpha}{\alpha^2+\beta^2}$
これをβについて積分して、

$I=\tan^{-1}(\frac{\beta}{\alpha})+C$ （Cは任意定数）
よって、

$\int_{0}^{\infty} {\left\ e^{-\alpha x}\frac{\sin{\beta x}}{x} \right\ dx}=\tan^{-1}(\frac{\beta}{\alpha})$    (任意定数はインテグラルで吸収)
ここでα→0を考えると、
$\lim_{\alpha \to 0}\int_{0}^{\infty} {\left\ e^{-\alpha x}\frac{\sin{\beta x}}{x} \right\ dx}$ $=\int_{0}^{\infty} {\left\ \frac{\sin{\beta x}}{x} \right\ dx}$

$\lim_{\alpha \to 0}\tan^{-1}(\frac{\beta}{\alpha})=sign(\beta)\frac{\pi}{2}$     (βによって+∞になるか-∞になるかがきまるから)
以上より、

$\int_{0}^{\infty} {\left\ \frac{\sin({\beta x)}}{x} \right\ dx}=sign(\beta)\frac{\pi}{2}$

4拍手 |

2010-06-15 20:49:40

hello

(9pt)

すごいなぁ。感動しました。

0拍手 |

2010-06-16 16:03:45

shero

(0pt)

ありがとうございます。解けました。
ただ、 $\alpha\rightarrow0$ をする理由、考え方がわからないので、教えてもらえませんか？

2010-06-17 13:58:50

Mitsuo

(50pt)

$\int_{0}^{\infty} {\left\ \frac{\sin(\beta x)}{x} \right\ dx}$ を求めることは、 $I(\alpha,\beta)$ の $\alpha=0$ の時の解を求めよという問題と見ることができます。
だから、 $I(\alpha,\beta)$ を求めて $\alpha \to 0$ としたわけです。

与えられた式と求めたい式とを見比べて、与えられた式をどう変形すれば求めたい式になるのかを考えるのが第一ですね。

そしてなぜパラメータ $\beta$ で微分させたのか。
それは $I(\alpha,\beta)$ がそのままでは積分しづらいからです。

ある程度方針が書かれた問題ならば、なぜ出題者はその方針を示しているのかを考えてみるのもいいと思います。

3拍手 |

2010-06-17 15:04:51

shero

(0pt)

なるほど。参考にしてほかの問題も解いてみます。
ありがとうございました。

2010-06-17 16:17:24

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