まず、bonobonoさんの本では

閉集合の定義：「が閉集合であるとは、が成り立つことである（ただしはの閉包）」

ということですね。ここでさらにお聞きしたいのですが、
の閉包というのは（ただしはの集積点全体の集合）で定義されているのでしょうか？
確認しておきたいですので、あとで教えてください。とりあえずそうだとして話を進めます。

さて、bonobonoさんの本によれば

「が閉集合である , ならば」

という事が書かれてるようですね（このこと自体の証明は一先ず置いておきます）。
まさにこのこと（特に　　の方）を今の証明中で使っています。

今の場合、（は有界な閉集合ですのでもちろん閉集合です）、を　、をで置き換えれば、
（）の方を適用してが得られます。

Bolzano-Weierstrassの性質については、基本的？と思われる区間縮小法を把握されているとして
次のページが参考になると思います。

http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/kaisekikiso/node16.html

もしかしたら説明不足の所がまだあるかもしれません；
何かありましたらまた聞いてください。

なるほど、わかりました。確かに触点の定義もありましたね。

今更ながら、のコンパクト性を用いてやった方がわかりやすいかもしれないです。
を、　なる小さい開円板たちで被覆して・・・・・・
という感じで何とかなるかもしれません。
（もしその方針でいくとしたら、
「が有界閉集合がコンパクト」を示す所で苦労するかと思います。
bonobonoさんの本ではそれが既に証明されているのかもしれませんが・・・・・・。）

数学書を読むのはしんどいと思いますが、お互い頑張りましょう。