「２乗誤差の最小化」 - NazoLab なぞらぼ科学系ソーシャルコミュニティ

２乗誤差の最小化

数学（一般）

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testa

(6pt)

$\int_{-\pi}^{\pi} {\left\ f(x) \right\ dx} = 0$

のとき、２乗誤差Jが以下のように与えられたとして、

$J = \int_{-\pi}^{\pi} {\left\ \{ f(x)-\sum_{i=0}^{n} (a_{k}cos{kx} + b_{k}sin{kx}) \}^2 \right\ dx}$

このJを最初化する、 $a_{k}$ , $b_{k}$ の求め方を教えてください。

2010-06-14 14:58:10

MachiParu

(37pt)

$\sin nx$ , $\cos mx$ の直交性に注意して，注意深く展開し，0になる項を消してみてください．すると， $f(x)$

のフーリエ展開を

次で打ち切ったときの係数が出てくるはずです．

3拍手 |

2010-08-01 10:52:00

tsukebo

(32pt)

答えだけ言ってしまえば， f(x)

と三角関数の内積を正規化したものになります．でいいのかな

3拍手 |

2010-08-01 11:23:15

shogo82148

(24pt)

もうちょっとヒントを追加。

最適化問題を解くときのポイントは「最適化したい関数をパラメータで偏微分して、結果が0になる」ようにパラメータを決めることです。

この場合は目的関数

をパラメータ

で偏微分してみればいいわけです。

まずは a_k

で偏微分してみましょう。
積分と微分の順序は入れ替えられることに注意すると
$\frac{\partial J}{\partial a_{k}} = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\partial}{\partial a_{k}}\left\{ f(x)-\sum_{k=0}^{n}\left(a_{k}\cos kx+b_{k}\sin kx\right)\right\} ^{2}\mathrm{d}x$
さらに、合成関数の微分を行えばこんな式になります。
$\frac{\partial J}{\partial a_{k}} = \int_{-\pi}^{\pi}2\left\{ f(x)-\left(a_{k}\cos kx+b_{k}\sin kx\right)\right\} \cos kx\mathrm{d}x$

ここからさらに展開し、三角関数の直交性を利用して簡単化していくと、 a_k

と

のみの非常に簡単な式で書き表せるはずです。

そこまで計算できたら
$\frac{\partial J}{\partial a_{k}}=0$
と置けば、フーリエ級数展開で見たことのある式が導出できます。

3拍手 |

2010-08-01 12:19:51

testa

(6pt)

返信遅れて申し訳ありません。
みなんさんありがとうございます。

解き方が解りました。

以下にまとめさせていただきたいと思います。

$\frac {\partial{J}} {\partial{a_i}} = 0$ 　より、

$\int_{-{\pi}}^{{\pi}}\{f(x)-\sum_{k=1}^{n}(a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx))\}\cos(ix)dx=0$

三角関数の直交性より

$\int_{-{\pi}}^{{\pi}}\{f(x)\cos(ix)-a_i\cos^2(ix)\}dx = 0$

$\int_{-{\pi}}^{{\pi}}f(x)\cos(ix)dx = \pi a_i$

よって、

$a_i = \frac{1}{\pi}\int_{-{\pi}}^{{\pi}}f(x)\cos(ix)dx$

b_i

　も同様にして、

$\frac {\partial{J}} {\partial{b_i}} = 0$

から求められ、

$b_i = \frac{1}{\pi}\int_{-{\pi}}^{{\pi}}f(x)\sin(ix)dx$

となる。

以上です。
ありがとうございました！！

2010-09-11 20:23:56

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