無限級数の収束・発散の問題
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nanashibito
(22pt)
どうしてもわからなかったので、質問させて頂きます。

すべての自然数nに対しa_{n}>0とし、級数\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}は発散するとします。
このとき、級数\sum_{n=1}^{\infty}\frac{ a_{n} }{ 1+na_{n} }は発散することを示せるか？
収束する場合があるとしたら、それはどんなa_{n}のときか？という問題です。

例えば、a_{n}=\frac{ 1 }{ n }の場合を考えると問いの級数は実際に発散します。

とりあえず、問いの級数は発散するという方針で示そうとしているのですが、中々証明が思いつきません。
しかしながら級数が収束するようなa_{n}の例も見つけられないです……。

よろしければご教授お願いします。
2010-08-30 21:23:10
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nanashibito
(22pt)
そういえば２つの数列の関係から、級数の収束・発散を判定する定理があった気がしますね。
参考書を引っ張り出して考えてみたいと思います。
こちらこそ何度も質問してすみませんでした。回答下さりありがとうございます。
2010-08-31 10:39:22
nanashibito
(22pt)
連投失礼します。
boincneetさんのアイデアをもとに途中まで考えてみました。
いま、常に\lim_{n{\to}\infty}{\frac{ a_{n} }{ b_{n} }}が存在するとは限らないので、上極限で代用します。以下、b_{n}=\frac{ a_{n} }{ 1+na_{n} }とおいてます。

まず\limsup_{n{\to}\infty}{\frac{ a_{n} }{ b_{n} }}(=\limsup_{n{\to}\infty}{(1+na_{n})}})=c（cは有限値正数）の場合は、
d>cなる定数dに対しある番号Nがあって、n{\geq}N{\Rightarrow}\frac{ a_{n} }{ b_{n} }{<}dとなりますので、
\sum_{n=N}^{\infty}a_{n}=\inftyから\sum_{n=N}^{\infty}b_{n}=\inftyとなりＯＫだと思います。

しかし、\limsup_{n{\to}\infty}{\frac{ a_{n} }{ b_{n} }}=\limsup_{n{\to}\infty}{(1+na_{n})}}=\inftyのときがよくわかりません。

この場合は上のようにいかず、任意のM{<}\inftyに対し1+na_{n}{>}Mなるnが無限個ある
ということしかいえないと思います。ここからどうするか何ともいえない状況です……。

もう少し検討が必要と思いますが、どなたかわかる方おりましたらご教授お願いします。
2010-09-01 09:17:08
oshinobi
(36pt)
収束する例を、1つ見つけました。

  m=1,2,3,\cdots  として、
a_n = 1 \ (\text{ if }n=m^2 )\ ,\ \frac{1}{n^2} \ (\text{otherwise})　という数列を考えると、
\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \infty を満たす （a_n = 1　となる n は無限個あるので）。


次に
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{1+n a_n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+\frac{1}{a_n}}　を考えると、
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{1+n a_n} = \sum_{\{n|n=m^2\}} \frac{1}{n+1} + \sum_{\{n|n \ne m^2\}} \frac{1}{n+n^2}
\ \ \ = \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m^2+1} + \sum_{\{n|n \ne m^2\}} \frac{1}{n+n^2}
\ \ \ < \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m^2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+n^2}
となり、最後の式が有限の値になるので、収束している。

ちょっと乱暴な答案になってしまいまして、すみません。

2拍手 |
2010-09-01 17:49:19
oshinobi
(36pt)
連投で失礼します。
問題では「収束するのはどんなa_{n}のときか？」と、一般的な書き方をするように求められていたですね。
あえて書くとすれば、次のような感じになりそうに思います：

◎「\{ a_{n} \}_{n=1}^{\infty}　を、級数が発散する部分列 \{ b_{i} \}_{i=1}^{\infty} と 級数が収束する部分列 \{ c_{j} \}_{j=1}^{\infty} とに分割できて、
なおかつ a_n = b_i 　となる　n (= n(i)) の出現頻度を n が大きくなるにつれて少なくなっていくようにできるとき
（すなわち、(i/n(i)) \sim O(n^{-r}) 　ただし r>0 ）。　」

証明は、まだできていませんので、不完全な回答ですみません。
あと、上記のほかに条件に合う a_{n} がないかも、まだわかりません。

1拍手 |
2010-09-01 22:24:04
nanashibito
(22pt)
回答ありがとうございます。
なるほど、確かにこの数列の場合は収束しますね！
てっきり発散するものとばかり思っていました……。

あと収束する場合というのは、演習問題文を見直したところ、例を示すのみでよろしいようです。
私の問題の書き方だと、一般的な場合を求めるような表現でしたね……
大変失礼いたしました。

しかし、一般にどんな場合に級数が収束かを考えるのも、これまた発展問題ですね。
自分でも考えてみたいと思います。

考えて下さったboincneetさん、oshinobiさんのお二方、本当にありがとうございました！
2010-09-02 06:49:26
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