積分計算
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watanabe
(17pt)

\int_{-1}^{1} {\left\ \frac{x^2}{1+e^x} \right\ dx}が分かりません。どうやったら解けるのでしょうか？
2010-06-13 23:12:18
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ippeko
(3pt)

すばらしい。

こんなにきれいに解けるもんなんですねｗ

0拍手 |
2010-06-15 08:46:57
imai927
(3pt)
ukikagi さんの解答は、オ、ヨ、ヨ・・・、よさそうだなぁあ・・・、これは上手い・・・！！！
ちょっと面食らいますねぇ・・・。これは普通ではありません・・・。
0拍手 |
2010-06-15 20:27:41
ukikagi
(15pt)
あとで思いつきましたが、下のような方法のほうがよりシンプルで自然でしたね。
\int_{-1}^{1} {\left\ f(x) \right\ dx}=\int_{0}^{1} {\left\ \{f(x)+f(-x)\} \right\ dx}=\int_{0}^{1} {\left\ x^2 \right\ dx}

この問題を置換積分や部分積分だけで解くのはだいぶ難しいように見えます……
対になる関数（厳密な言い方ではない）を組み合わせることで定積分の値を求めること自体は、
チャート式に同じような問題があるくらいなので、そこまで奇抜な方法でないとは思います。

奇抜な解法といえば……
y=x^2 が偶関数、
y=\frac{1}{1+e^x}-\frac{1}{2}=\frac{1-e^x}{2(1+e^x)} が奇関数になることから、
\int_{-1}^{1} {\left\ x^2(\frac{1}{1+e^x}-\frac{1}{2}) \right\ dx}=0
よって、
\int_{-1}^{1} {\left\ \frac{x^2}{1+e^x} \right\ dx}=\int_{-1}^{1} {\left\ \frac{1}{2}x^2 \right\ dx}
というのも考えてみましたが、結局どれも同じことの見た目を変えてるだけですね。
以上、蛇足でした。
2拍手 |
2010-06-17 00:15:06
imai927
(3pt)
数学では色々と奇抜な解法を考えることは大変に有意義です。そして、それが何時の間にやら奇抜でなくなる、これは数学の進歩を意味します。
さりながら、その奇抜な解答をそのままにして置かないで、既存の数学に合わせる努力も惜しむべきではありません。そんな解答を下記ページに見てください。

http://www.geocities.jp/imai_999999999/kou/kou6/sekibun/teisekibun/explog/no004.html
0拍手 |
2010-06-17 12:38:01
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