2011年東京大学（前期）数学第2問 NazoLab なぞらぼ科学系ソーシャルコミュニティ

文系は(2)まで

(1) $\sqrt{2}=1.414\cdots$ であるから
$a_1= \left\langle\sqrt{2}\right\rangle = \sqrt{2}-1$
$a_2= \left\langle\frac{1}{\sqrt{2}-1}\right\rangle = \left\langle\frac{\sqrt{2}+1}{2-1}\right\rangle= \left\langle\sqrt{2}+1\right\rangle = \left\langle\sqrt{2}\right\rangle=a_1$
帰納的に
$a_n = \sqrt{2}-1$

(2) a_n = a

のとき
$a_{n+1} = \left\langle\frac{1}{a}\right\rangle=a$
$\left\langle\frac{1}{a}\right\rangle$ の整数部分を $m \ (m\geqq 0)$ とすると
$\begin{align} \left\langle\frac{1}{a}\right\rangle & = a \\ \frac{1}{a} - m & = a\\ a^2+ma-1 & = 0\\ \end{align}$
f(a)=a^2+ma-1

とおくと、

についての2次方程式 a^2+ma-1=0

が
$a\geqq\frac{1}{3}$ に実数解を持つための条件は、判別式 D=m^2+4>0

より、次の場合。
$(\mathrm{i})$ 　軸　 $-\frac{m}{2} > \frac{1}{3}$ 　、 $f\left (\frac{1}{3}\right)>0$
$(\mathrm{ii}) \ f\left(\frac{1}{3}\right) <0$

$(\mathrm{i})$ のとき
$m<\frac{2}{3} \quad \therefore m = 0$
また、
$f\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{9}+\frac{m}{3}-1 >0 \quad \therefore m > \frac{8}{3}$
これらを満たす

の値が存在しないので不適

$(\mathrm{ii})$ のとき
$f\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{9}+\frac{m}{3}-1 <0 \quad \therefore m < \frac{8}{3} \quad \therefore m=0,1,2$
これを a^2+ma-1=0

に代入する。 $a>\frac{1}{3}$ に留意して
m=0

のとき、

より $a_1=0\ne1$ となるので不適。
m=1

のとき、 $a=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2} \quad \therefore a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
このとき、
$a_1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}, \ a_2=\left\langle\frac{2}{\sqrt{5}-1}\right\rangle =\left\langle \frac{2(\sqrt{5}+1)}{5-1}\right\rangle =\left\langle \frac{\sqrt{5}-1}{2}+1\right\rangle=a_1$
で確かに成立する。
m=2

のとき、 $a=-1\pm\sqrt{2} \quad \therefore a = \sqrt{2}-1$
これは(1)より成立する。
従って、求める

の値は

$a=\frac{\sqrt{5}-1}{2},\sqrt{2}-1$

(3) $k_1, \ p_1$ を整数とすると、
$a_1=\left\langle\frac{p}{q}\right\rangle =\left\langle k_1 + \frac{p_1}{q}\right\rangle = \frac{p_1}{q} \quad (0 \leqq p_1 < q)$
と表すことができる。ここで p_1=0

ならば、

より

のとき、

を整数とすると、同様にして
$a_2=\left\langle\frac{1}{\frac{p_1}{q}}\right\rangle =\left\langle \frac{q}{p_1}\right\rangle = \left\langle k_2 + \frac{q_2}{p_1}\right\rangle =\frac{q_2}{p_1} \quad (0 \leqq q_2 < p_1)$
と表すことができる。ここで q_2=0