\sin(x),\cos(x)のマクローリン展開
\sin(x)=x-\frac{ 1 }{ 3! }x^{3}+\frac{ 1 }{ 5! }x^{5}-\cdots +(-1)^{n}\frac{ 1 }{ (2n+1)! }x^{2n+1}+\cdots
\cos(x)=1-\frac{ 1 }{ 2! }x^{2}+\frac{ 1 }{ 4! }x^{4}-\cdots +(-1)^{n}\frac{ 1 }{ (2n)! }x^{2n}+\cdots


e^{x} のマクローリン展開
e^{x}=1+x+\frac{ 1 }{ 2! }x^{2}+\frac{ 1 }{ 3! }x^{3}+\cdots +\frac{ 1 }{ n! }x^{n}+\cdots


x に ix を代入すると， i^{2}=-1  より

e^{ix}=1+ix+\frac{ 1 }{ 2! }(ix)^{2}+\frac{ 1 }{ 3! }(ix)^{3}+\cdots +\frac{ 1 }{ n! }(ix)^{n}+\cdots
        
      =1+ix-\frac{ 1 }{ 2! }x^{2}-\frac{ 1 }{ 3! }ix^{3} +\frac{ 1 }{ 4! }x^{4}+\frac{ 1 }{ 5! }ix^{5}-\cdots

      =(1-\frac{ 1 }{ 2! }x^{2} +\frac{ 1 }{ 4! }x^{4}-\cdots)+i(x-\frac{ 1 }{ 3! }x^{3}+\frac{ 1 }{ 5! }x^{5}-\cdots)


実部，虚部がそれぞれ\cos(x),\sin(x) のマクローリン展開であるので

e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)          





\sin(x),\cos(x),e^{x} のマクローリン展開の導出は，長くなるので今回は省きました。