（テスト投稿兼ねてます）

f(x)はFourier展開可能であるとする．

複素Fourier級数
f(x) = \sum_{n=- \infty}^{\infty} c_n e^{ in \frac{\pi}{L} x}
に
c_n = \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x) e^{ -in \frac{\pi}{L} x} dx
を代入すると
f(x) = \sum_{n=- \infty}^{\infty} \left \{ \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x) e^{ -in \frac{\pi}{L} x} dx \right \} e^{ in \frac{\pi}{L} x}
となる．いま
\Delta \omega \overset{\mathrm{def}}{=} \frac {\pi}{L}
と置き換えれば右辺は
\frac{1}{2\pi} \sum_{n=- \infty}^{\infty} \left [ \left \{ \int_{-L}^{L} f(x) e^{ -in \Delta\omega x} dx \right \} e^{ in \Delta\omega x} \right ] \Delta\omega
と表せる．ここでL{\rightarrow}{\infty}の極限を考えると, \Delta\omega{\rightarrow}0なので
\lim_{ L{\to}{\infty}}\lim_{ \Delta\omega{\to}{0} } \frac{1}{2\pi} \sum_{n=- \infty}^{\infty} \left [ \left \{ \int_{-L}^{L} f(x) e^{ -in \Delta\omega x} dx \right \} e^{ in \Delta\omega x} \right ] \Delta\omega
= \frac{1}{2\pi} \int_{- \infty}^{\infty} \left \{ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{ -i \omega x} dx \right \} e^{ i \omega x} \right ] d\omega
定積分となった．


ここで括弧内をF(\omega)とおけば
F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{ -i \omega x} dx
f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{- \infty}^{\infty} F(\omega) e^{ i \omega x} \right ] d\omega
と表せる．これはFourier変換の定義式だ．