Dunford積分とCayley-Hamiltonの定理
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鶏に牛刀な感じがしますが、Banach代数の元の正則函数への”代入"の計算法 Holomorphic functional calculus を用いて複素成分の行列に対するCayley-Hamiltonの定理を証明します。
をBanach代数とする。
に対して、
:=\{\lambda\in\mathbb{C}:\forall Y\in A\ \ \ Y(\lambda-X)\neq1\ \mathrm{or}\ (\lambda-X)Y\neq 1\})
とする。
))
で)
の近傍で正則な函数に拡張できる上の函数全体のなす代数を表すと、次の条件をみたす
代数の準同型 )\to A)
がただ一つ存在する。
1.任意の多項式函数
に対して,
=f(X))
.
2.の近傍上の正則函数列
がに任意のコンパクト集合上一様収束するとき,
})=\Phi_X(f|_{\sigma(X)}))
.
この
は具体的には次のように表せる。
})=\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_{\Gamma}f(z)(z-X)^{-1}dz)
.
ここで
はの正則域内の閉曲線での任意の点の周りの回転数が
になるものである。このような積分をDunford積分という。
以下、)
で複素成分
次正方行列全体とし、)
を単位行列、)
に対して
で
の行列式、
での余因子行列を表す。すると I)
が成り立つ。
:=\det(zI-X))
とする。Cayley-Hamiltonの定理は任意のに対して=0)
となることを主張する定理である。
の周りを一周する閉曲線をとすると
 & =\Phi_X(f_X) \\
& =\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_{\Gamma}\{\det(zI-X)\}(zI-X)^{-1}dz \\
& =\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_{\Gamma}\widetilde{(zI-X)}dz
\end{align})
.
})
の成分は
の成分の多項式で表されるので
について正則である。したがってとなる。
とする。
1.任意の多項式函数
2.
この
ここで
以下、
