f(x)に対して
f(x){=}\int_{x-1}^{x}T_{f(x)}(t)dt
を満たすT_{f(x)}(x)をf(x)に関するΣ拡張母関数と呼ぶことにする。また、単にT_{f}(x)とも書く。
この時、次の定理が成り立つ。
定理1
\sum_{k=1}^{n}f(k){=}\int_{0}^{n}T_{f}(t)dt
 証明
\sum_{k=1}^{n}f(k){=}\sum_{k=1}^{n}\int_{k-1}^{k}T_{f}(t)dt{=}\int_{0}^{n}T_{f}(t)dt
これは、Σ拡張母関数の最も基本的で、最も重要な性質である。
この性質を基にΣ拡張母関数、及びΣについての性質を調べていくこととする。
 
いま、Σは整数に対して扱われてきたが、これを拡張し
S_{f}(x){=}\sum_{k=1}^{x}f(k)
というものを考える。
すなわち
S_{f}(x){=}\int_{0}^{x}T_{f}(t)dt
である。このS_{f}(x)をΣ拡張関数と呼ぶことにする。
これによってシグマの性質
\sum_{k=1}^{n}f(k){=}\sum_{k=1}^{n-1}f(k)+f(n)
に対応する性質
S_{f}(x){=}S_{f}(x-1)+f(x)
を持ちながら実数全体へと拡張できる。