最小値問題について

x,y,zは実数で全て0より大きいとする。
n,m,k,tは自然数とする。


2\sqrt{x^2+y^2+xy}=n

2\sqrt{y^2+z^2+yz}=k

2\sqrt{z^2+x^2+zx}=m

t=2(x+y+z)

を満たすとき、tを最小にするような(x,y,z)を求めよ。


x^2+y^2+xy=\frac{ n^2 }{ 4 }

x^2+zx+z^2-\frac{ m^2 }{ 4 }=0

x=\frac{ -z+\sqrt{m^2-3z^2} }{ 2 }

z=\frac{ q }{ p }
とおいて
m^2-3z^2=\frac{ m^2p^2-3q^2 }{ p^2 }

m^2p^2-3q^2=r^2
とおくと

3q^2=(mp)^2-r^2=(mp+r)(mp-r)

mp-r=3l
とおくと
3q^2=3l(3l+2r)

q^2=l(3l+2r)

r=dl
とおくと
q^2=(3+2d)l^2

3+2dが平方数になるには、
d=3,11,23,・・・
d=3のとき、q=r=3lとなり、mp=6l
z=\frac{ q }{ p }=\frac{ 3lm }{ 6l }=\frac{ m }{ 2 }
m^2-3z^2=m^2-\frac{ 3m^2 }{ 4 }=\frac{ m^2 }{ 4 }

x=\frac{ -z+\sqrt{m^2-3z^2} }{ 2 }=0
となり、不可。
d=11のとき、
r=11l

q^2=(3+22)l^2=(5l)^2

q=5l

mp=14l

z=\frac{ 5m }{ 14 }

x=\frac{ -5m+11m }{ 2*14 }=\frac{ 3m }{ 14 }

y=\frac{ -z+\sqrt{k^2-3z^2} }{ 2 }

k^2-3z^2=k^2-3*(\frac{ 5m }{ 14 })^2=(\frac{ s }{ 14 })^2
とおくと
(14k)^2-3(5m)^2=s^2

(14k+s)(14k-s)=3(5m)^2

14k+s=3hとおくと
3h(28k-3h)=3(5m)^2

3h^2-28kh+25m^2=0

h=\frac{ 14k+r }{ 3 }=\frac{ 14k+\sqrt{(14k)^2-75m^2} }{ 3 }

(14k)^2-75m^2が平方数になり、しかもhが整数になるには
m=65,k=73,r=853,h=625

z=\frac{ 5m }{ 14 }=\frac{ 325 }{ 14 }

x=\frac{ 3m }{ 14 }=\frac{ 195 }{ 14 }

y=\frac{ 132 }{ 7 }

n=57,t=112