x,y,zは実数で全て0より大きいとする。n,m,k,tは自然数とする。

2√(x^2+y^2+xy)=n、
2√(y^2+z^2+yz)=k、
2√(z^2+x^2+zx)=m、
t/2=x+y+z
を満たすとき、tを最小にするような(x,y,z)を求めよ。

x^2+y^2+xy=n^2/4
x^2+zx+z^2-m^2/4=0
x=(-z+√(m^2-3z^2))/2
z=q/pとおいて
m^2-3z^2=(m^2p^2-3q^2)/p^2
m^2p^2-3z^2=r^2とおくと
3q^2=(mp)^2-r^2=(mp+r)(mp-r)
mp-r=3lとおくと
3q^2=3l(3l+2r)
q^2=l(3l+2r)
r=dlとおくと
q^2=l(3l+2dl)=(3+2d)l^2
3+2dが平方数になるには、
d=3,11,23,・・・
d=3のとき、q = r = 3lとなり、mp=6l
z=q/p=3lm/6l=m/2
m^2-3z^2=m^2-3m^2/4=m^2/4
x=(-z+√(m^2-3z^2))/2=0となり、不可。
d=11のとき、
r=11l
q^2=(3+22)l^2=(5l)^2
q=5l
mp=14l
z=q/p=5m/14
x=(-5m+11m)/(2*14)=3m/14
y=(-z+√(k^2-3z^2))/2
k^2-3z^2=k^2-3(5m/14)^2=(s/14)^2とおくと
(14k)^2-3(5m)^2=s^2
(14k+s)(14k-s)=3(5m)^2
14k+s=3hとおくと
3h(28k-3h)=3(5m)^2
3h^2-28kh+25m^2=0
h=(14k+r)/3=(14k+√((14k)^2-75m^2))/3
(14k)^2-75m^2が平方数になり、しかもｈが整数になるには
m=65,k=73,r=853,h=625
z=5m/14=325/14
x=3m/14=195/14
y=(-z+√(k^2-3z^2))/2=132/7
n=57,t=112