実数上の関数に対し、「微分可能　ならば　連続」はよく知られている。

ところで、「微分可能　ならば　右側微分可能かつ左側微分可能」である。
逆は成り立たない。右左微分係数が一致しないとダメ。

なので、「右側微分可能かつ左側微分可能」は「微分可能」より弱い条件。


しかし、次が成り立つ：

「実数上の関数fに対し、fが点aで右側微分可能かつ左側微分可能　ならば　点aで連続」

証明
\lim_{x{\downarrow}a}{\frac{ f(x)-f(a) }{ x-a }}=Aとする。そうすると

\lim_{x{\downarrow}a}\{{f(x)-f(a)\}}=\lim_{x{\downarrow}a}{\frac{ f(x)-f(a) }{ x-a }(x-a)}=A{\times}0=0

よって\lim_{x{\downarrow}a}{ f(x) }=f(a)がわかる。

全く同様にして、\lim_{x{\uparrow}a}{ f(x) }=f(a)がわかる。

よって、右、左ともにf(a)に一致するので、aで連続である。



このようにして、「微分可能」より弱い条件「右微可かつ左微可」でも、連続性がいえることがわかった。