r=a\left(1+\cos{\theta}\right) のx軸まわりの回転体の体積を求める。



y{\geq}0 の領域\left(0\leq\theta\leq\pi\right)のみ考慮する。
この範囲で最大のxの値をx_0、最小のxの値をx_1とし、x=x_1の時の\thetaの値を\theta_1とする。

このグラフを、0\leq\theta<\theta_1 及び \theta_1\leq\theta\leq\pi の二つに分けて考える。
前者の領域のyの値をy_0 \left(x_1<x\leq x_0\right) 、後者のそれをy_1 \left(x_1\leq x\leq0\right)とする。

求める体積をVとすると、Vはy_0のx軸まわりの回転体の体積から、y_1のそれを引けば良いので
V=\pi \int_{x_1}^{x_0}{y_0}^2dx-\pi \int_{x_1}^0 {y_1}^2dx

一番目の項\left(y_0)でxの値をx_1からx_0まで動かすのは\thetaの値を\theta_1から0まで動かすのに相当し、
二番目の項\left(y_1)でxの値をx_1から0まで動かすのは\thetaの値を\theta_1から\piまで動かすのに相当するので
V=\pi \int_{\theta_1}^0 {y_0}^2 \frac{dx}{d\theta}d\theta-\pi \int_{\theta_1}^\pi {y_1}^2\frac{dx}{d\theta}d\theta
=-\pi \int_0^{\theta_1} {y_0}^2 \frac{dx}{d\theta}d\theta-\pi \int_{\theta_1}^\pi {y_1}^2\frac{dx}{d\theta}d\theta
=-\pi \int_0^\pi y^2 \frac{dx}{d\theta}d\theta

ここで、x=r\cos{\theta}=a\left(1+\cos{\theta}\right)\cos{\theta}、y=r\sin{\theta}=a\left(1+\cos{\theta}\right)\sin{\theta} なので
\frac{dx}{d\theta}=a\left\{\left(1+\cos\theta)'\cos{\theta}+\left(1+\cos{\theta}\right)\left(\cos{\theta}}\right)'\right\}
=a\left\{-\sin{\theta}\cos\theta-(1+\cos\theta)\sin\theta\right\}
=-a\left(1+2\cos\theta\right)\sin\theta

これらを代入すると
V=-\pi \int_0^\pi a^2\left(1+\cos\theta)^2\sin^2\theta\left\{-a\left(1+2\cos\theta\right)\sin\theta\right\}d\theta=\pi a^3\int_0^\pi \left(1+\cos\theta)^2\left(1+2\cos\theta)\sin^3\theta d\theta
=\pi a^3\int_0^\pi \left(1+\cos\theta)^2\left(1+2\cos\theta)\left(1-\cos^2\theta\right)\sin\theta d\theta

\cos\theta=t と置くと、-\sin\theta d\theta = dt
\thetaが0から\piの時、tは1から-1なので
V=\pi a^3\int_1^{-1}(1+t)^2(1+2t)\left(1-t^2\right)\left(-dt\right)
=\pi a^3\int_{-1}^1\left(-2t^5-5t^4-2t^3+4t^2+4t+1\right)dt

ここで、-2t^5、-2t^3、4tの項は奇関数なので\left[-1,1\right]で積分すると0になる。
-5t^4、4t^2、1の項は偶関数なので、\left[-1,1\right]の積分は\left[0,1\right]の積分の2倍の値になる。
従って
V=2\pi a^3 \int_0^1\left(-5t^4+4t^2+1\right)dt
=2\pi a^3 \left[-t^5+\frac{4}{3}t^3+t\right]_0^1
=2\pi a^3 \left(-1+\frac{4}{3}+1\right)
=\frac{8\pi a^3}{3}    //